Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
сечения рассеяния, резонансы, вероятности рождения и распада частиц,
отношение ширин распадов и т. д. Таким образом, фиксируя X я т, мы
выделяем некоторую конкретную теорию поля из двупараметрического
семейства таких теорий. После того как этот выбор произведен, теория
должна предсказывать любое наблюдение.
Второй, более технический, подход к понятию перенормировки связан с
сокращением расходимостей, возникающих при вычислениях по теории
возмущений. С математической точки зрения эти
') В этом параграфе основные идеи и понятия теории перенормировок поля в
рамках теории возмущений изложены столь кратко, что читателю, по-
видимому, следует обратиться к более подробным руководствам (см.,
например, Ахие-зер А. И. и Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. -
М.: Наука, 1969, или [Боголюбов Н. H i Щирков Д. В., 1976]. - Прим. ред.
202 Гл. 9. Анализ и перенормировки
расходимости появляются из-за того, что функционал У(Ф) в случае
нелинейной функции V нельзя корректно определить на пространстве
обобщенных функций 9". Такой подход к перенормировкам обобщает идею
перепараметризации, описанную выше. Мы вновь рассматриваем Хь и ть как
функции от X и т. При этом конечным значениям X и т могут отвечать
бесконечные Хь и ть. Таким образом, перепараметризация изменяет потенциал
так, что коэффициенты Хь и ть в & становятся бесконечными, причем
бесконечности сокращаются при вычислении т или X. В результате в
перенормированной теории наблюдаемые величины имеют конечные значения.
Рассмотрим более подробно перепараметризацию на примере теории поля ф4.
Голый евклидов лагранжиан имеет вид
&ъ (ф) = \ (т (Уф)2 + | т2ьф2 + ^ф4) dx. (9.4.2)
Здесь ть есть голая масса, а Хь - голая константа связи. Положим ф = Фь и
запишем перепараметризацию в виде
т2 = т\ + 6т2, фг = Z* 1/2ф,
a. = Wz$ = (*4 + flb)z", (9-4,3)
где т, X и константа перенормировки поля Zcp будут определены позднее.
Тогда перенормированный лагранжиан 3?Т определяется выражением
я, (Ф,) = (Ф) = \ {I (УФг)! + i mv, + ч + 7 (Z, - 1) (Уф,)г +
+ i (п? (z, -1) - - z> б).Фд га.т
Теперь мы будем рассматривать X и m как основные параметры теории, a 8m2,
Zip и 6А, как функции от Я, и т, задаваемые в виде рядов по степеням X с
коэффициентами, зависящими от т. Эти степенные ряды будут определяться из
того условия, что X и т выбраны соответственно как физическая константа
связи и масса физической частицы. Константа Z(p будет определена с
помощью дополнительных соглашений.
Введенная таким образом перепараметризация лагранжиана порождает в
описанных в § 8.4 диаграммах теории возмущений новые вершины, соединенные
новыми ребрами. Члены 7(V^r)2 + + ^-т2ф2 в й?Дфг) определяют ковариацию и
гауссову меру, с помощью которой строятся ряды теории возмущений. Новая
ковариация определяет значения, приписанные ребрам в графах
перенормированного разложения. Каждой ф4-вершине в разложении из § 8.4
соответствуют теперь два члена: один, отвечающий А,ф4-вершине, и другой,
отвечающий 6^ф4-вершине. Разлагаются
9.4 Перенормировка по теории возмущений 203
также остальные квадратичные члены - у(фг, 6<2фг) лагранжиана
(9.4.4). Здесь
7<4V- ^Фг) = т(1-2ф)(Уф,)2 + ^(6т^ + т2(1-2ф))фг1 (9.4.5)
Разложение квадратичных членов можно связать с рассмотрениями § 9.3.
Действительно, ковариация для S г равна Сг - = (-А + т2)-1, а ковариация
для Sь равна Сь = (- А +
(если в качестве переменной интегрирования в обоих случаях использовать
фг). Тогда, согласно § 9.3, С71 = С~1 + 6Q, где 6Q обозначает ядро
квадратичной формы бQ, определяемой формулой (9.4.5).
Ряд Неймана, выражающий Сь через Сг, можно записать в виде суммы графов
Фейнмана (рис. 9.2). Подставляя это графическое
8Q
Рис. 9.2.
представление ряда Неймана в неперенормированное разложение § 8.4,
получаем перенормированное разложение, содержащее перенормированные ребра
с пропагатором CV и б(3-вершины.
Мы утверждаем, что комбинаторная структура диаграмм, содержащих SQ-
вершины, в точности соответствует комбинаторной структуре некоторого
класса поддиаграмм нашего разложения. Это комбинаторное соответствие
позволяет указать подобные члены. Затем, сравнивая подобные члены, мы
обнаруживаем, что они частично сокращаются. Таким образом происходит
сокращение бесконечностей в перенормированной теории возмущений.
Фактически вклад в бт2 и Z.,, дают как б(3-члены, так и соответствующие
им члены разложения. Определение бт2 и Zff фиксирует 6Q и приводит к
частичному сокращению.
Диаграммы, подобные по комбинаторной структуре б<3-диа-граммам,
называются массовыми диаграммами. Такие диаграммы имеют два внешних
отростка и не распадаются на несвязанные части при выбрасывании одного
ребра (одночастично-неразложи-мые диаграммы, или 1ЧН).
Определим массовые скелетные диаграммы как диаграммы (с произвольным
числом внешних отростков), не содержащие массовых диаграмм в качестве
поддиаграмм, за исключением отдельных ребер (пропагаторов). Общей
диаграмме отвечает массовая скелетная диаграмма, которая получается
