Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 76

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 187 >> Следующая

условия на множестве Г. Определим масштабный ковариационный оператор
СаВ(ат) = = (-АаВ + (m/a)2)-1, где Аая обозначает оператор А с
аналогичными граничными условиями на множестве аГ, т. е. на множестве
точек ах, JteT. В случае d = 2
С в (т\ х, у) = СаВ (m/a; ах, ау), (8.6.24)
подобно формуле (7.2.2) для свободной ковариации.
Определим масштабное преобразование Ra (для d= 2) равенствами
RaCB(m)= Сав(т/а) и (Raf)f(x) = a~2fi(x/a). (8.6.25) •
186 Гл. 8. Квантование = интегрирование
При этих обозначениях верно следующее так называемое масштабно е
тождество:
J ехр (- :Р (ф, f):Cj) d<pC2 = J exp (- :P (<p, Raf)\Cl) d(PRac2 • (8-
6.26)
В гауссовом случае (т. е. когда Р -линейная функция) оно следует из
свойств (8.6.24-25) и определения гауссова интеграла. В общем случае оно
получается с помощью гауссова тождества и определения (8.5.5) викова
упорядочения.
8.7 Конечномерная аппроксимация
Для доказательства некоторых тождеств гл. 9, связанных с интегрированием
по частям, нам понадобится аппроксимация экспоненты е~ :Р(ф' функцией,
зависящей лишь от конечного числа переменных. Существенным шагом при этом
является конструкция из § 8.6, где функция аппроксимирована экспонентой
е_:Р(С(,к' f)\ Далее мы приблизим набор функций f функциями класса с", а
затем аппроксимируем риманов интеграл в определении :Р(фк. f)' римановой
интегральной суммой. Другую конечномерную аппроксимацию, основанную на
разностной (решеточной) аппроксимации оператора Лапласа, мы изложим в §
9.5-6. Переход к разностному оператору сохраняет ферромагнитное свойство
оператора Лапласа, а оно очень полезно при доказательстве корреляционных
неравенств.
Пусть %\-характеристическая функция множества А *= == supp f"; положим
f/,*=XA(f/*60. 1 = 0, Л}, (8.7.1)
где определено формулой (7.1.5). Тогда /*,->-/ при X-voo в пространстве
Lp для некоторого р > 1, а также N(/*,)"*¦ N(f) (см.
(8.6.5)). Пусть р(в. к) - аппроксимация интеграла :Р(фи, fx):c ри-
мановыми суммами, т. е.
Р,6'Я'и' = б2Е ? =Ф* (*)':<: &.*(*)¦ (8-7.2)
/аОхе 6Z2
Предложение 8.7.1. Для любого C&W и любого 1 ^ р < оо существует
следующий двойной предел в пространстве Lp(dq>c):
lim lim P(e' *•> = :Р (фи, /):с.
Я->оо б ->оо
Замечание. Сходимость при и->оо была установлена в теореме
8.5.3.
Доказательство. Пусть - семейство б-функций, выбранных, как в (8.7.2),
так чтобы
н,в:Р((9wfKt)la.
8.7 Конечномерная аппроксимация 187
Как и в доказательстве теоремы 8.5.3, Lp-сходимость полиномов Р(й'
сводится к сходимости
{fI, К 6' cLf I, к, б) -> {f 1> СU,). (8.7.3)
Предел при б->-0 в соотношении (8.7.3) существует по определению
интеграла Римана, а сходимость при Х->-°о следует из Lp-сходимости
последовательности f,-, так как функции Си и С? принадлежат пространству
Loo. I
Предложение 8.7.2. Для определенной выше последовательности рФ,Кх) прц
любом 1 ^ р < оо в пространстве Lp(d<fc) существуют пределы
lim lim lim exp (- x)) =exp (- :P (ф, /):с). (8.7.4)
X ->oo A,oo 6->0
Доказательство. Как следует из теоремы 8.6.2 и ее доказательства,
экспонента exp (- Рi'6' х^) при фиксированных Я и у. ограничена в Lp
равномерно по б.
В силу неравенства Шварца, то же самое верно и для интерполяции
экспоненты
exp (- Pw) = exp [- tP{6' k- и| - (1 - t) P(0' x)]
при 0 < / < 1. Сходимость в пространстве Lp вытекает из следующей
цепочки, неравенств:
II d -pW ||
<sup Г7" -
L t II ^ IIL
bp г II IILp
,, _p(0) _P(1)|, <f|l d -P{t)
0
= sup II (P<°< - P<'>) e-P{t) [|, < [[ \\L sup II Hr
t P t 2 p'
В силу сделанных замечаний, второй сомножитель ограничен равномерно
по б,
а первый сходится по предложению 8.7.1. Пределы при Л->-оо и
и->-оо рассма-
триваются аналогично. |
Предложение 8.7.3. Определим формальные производные (v, б/бф) = ^ v (х)
(б/бф (*)) dx,
Да>- W б^г)^ \ W(X> У) 6ф (ж) 6ф ((/) ^Х^У'
действующие на полиномы /?(ф) от ф. Тогда для введенных выше полиномов
р(в'*"х) и :Р(ц>, f):c = :Р: и непрерывных функций v и w с компактными
носителями существуют пределы в Lp для всех
1 ^ P < °о:
lim lim lim (w, -?-)p& ^ *> = (v, -A.):P(8.7.5) X->oo Л->°° 6->0 °Ф'
' 0(P/
lim lim lim АШР(6> ^ x) = Дш :P:. (8.7.6):
X -> oo 6->0
Доказательство аналогично доказательству предложения 8.7.1, причем
следует применить теорему 8.5.3. |
188 Гл. 9 Анализ и перенормировки
Замечание. В предложениях 8.7.1 и 8.7.3 Р могут быть и неограниченными
снизу. Кроме того, если считать в последних трех предложениях полиномы Р
различными, то в результате получим следующие пределы:
*)) е-р(Ь' к к) (дЯ) е~ ¦р¦,
где д = /, б/бф или б2/бфбф.
Глава 9
Анализ и перенормировки в функциональном пространстве
9.1 Список полезных формул
В этом параграфе мы приведем основные формулы и равенства с
указанием параграфа, в котором они доказываются. Как и в § 8.5,
обозначим ^(ф) полином от ф или полином от ф...........-.(р(х)1:. По-
ложим
Л(ф) = ^(ф)Л (9.1.1)
(I) Равенства для полиномов Вика Упорядочение экспоненты (§ 6.3):
:еч>(П:с = eW>e -<f- с№. '(9.1.2)
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed