Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
превращением каждой линейной цепочки массовых диаграмм в отдельный про-
пагатор. Пропагатор в скелетной диаграмме имеет структуру ряда
204 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Неймана (рис. 9.2), и поэтому общую диаграмму можно восстановить по ее
массовой скелетной диаграмме, вставляя в последнюю произвольным образом
массовые диаграммы. Каждая SQ-вер-шина также является массовой
диаграммой, и ее вклад выбирается таким образом, чтобы сократить вклад от
других массовых диаграмм. Это приводит к сдвигу спектра масс и изменению
величины поля.
Аналогичные соображения применимы к вершинным диаграммам. В случае ф4-
теории вершинные диаграммы имеют четыре внешних отростка и не распадаются
при выбрасывании двух или одного внутреннего ребра (двухчастично-
неразложимые диаграммы, или 2ЧН). К вершинным диаграммам относятся и 6>.-
вер-шины. Все вершинные диаграммы имеют одинаковую комбинаторную
структуру. Вершинная скелетная диаграмма не содержит вершинных
поддиаграмм, за исключением отдельных ^ф4-вершин. Общая диаграмма может
быть построена из вершинной скелетной диаграммы, если в нее вставить
вершинные поддиаграммы. Для вершинных диаграмм также происходит частичное
сокращение (связанное с 6?ь-вершинами).
Полной скелетной диаграммой называется диаграмма, являющаяся одновременно
массовой скелетной и вершинной скелетной диаграммой. Так как для
вершинной перенормировки необходимо производить вставки массовых диаграмм
и наоборот, то массовую и вершинную перенормировки нужно делать
одновременно в виде вставок массовых и вершинных диаграмм в полные
скелетные диаграммы.
Следующий этап перенормировки состоит в явном определении 6m2, 8Х и 2Ф в
соответствии с исходными данными (массами частиц и данными рассеяния).
Это мы отложим до § 14.3, поскольку к тому времени у нас будет больше
теоретических средств для решения этой задачи. В результате 6m2, 8Х и
будут представлены в виде рядов по степеням X. Коэффициент при Хп
выбирается так, чтобы обеспечить сокращение в массовых и вершинных
диаграммах порядка Хп. Если диаграмма содержит массовые или вершинные
поддиаграммы, то эти поддиаграммы можно включить в сокращенном виде, т.
е. в виде конечной суммы двух частично сокращающихся поддиаграмм.
Массовые и вершинные диаграммы в низших порядках теории возмущений для
взаимодействия ф4 приведены в § 14.3.
Теория поля называется перенормируемой, если каждая скелетная диаграмма с
произвольными вставками перенормированных (т. е. частично сокращенных)
массовых и вершинных поддиаграмм задает абсолютно сходящийся интеграл по
пространству Rn при некотором п (как в § 8.2). Поля ф4, Юкавы, Дирака,
Максвелла, КЭД и Янга - Миллса являются перенормируемыми в размерностях d
^ 4: см. [Боголюбов, Парасюк, 1957], [Нерр 1971], '['tHooft, 1971а, b],
[Abers, Lee, 1973] и [Becchi, Rouet, Stora,
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 205
1976]. Существует общее правило: теория перенормируема, если константа
связи имеет размерность (длина)', где / ^ 0. Сверхпе-ренормируемость
теории означает, что расходимости появляются только в конечных порядках
теории возмущений по К. В этом случае константа связи имеет размерность
(длина)'' и / < 0. Такие поля, как ф4, КЭД, поле Янга -Миллса
сверхперенормируемы, когда d sgC 3, и перенормируемы при d - 4.
Перенормируемые, но не сверхперенормируемые теории имеют безразмерную
константу связи, например константа тонкой структуры а = е2/4пНс в
электродинамике или К в модели ср4. Эти теории характеризуются также тем,
что неравенство Соболева, с помощью которого член со взаимодействием в
евклидовом действии мажорируется его кинетической (свободной) частью,
может превращаться в равенство.
Безмассовым теориям отвечают специальные значения ть и Яь; см. гл. 17.
Перенормировка в таких теориях сложнее.
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы
В этом параграфе мы рассматриваем решеточные аппроксимации Сь
ковариационных операторов С, определенных в гл. 7. Из сходимости С § ->-
С при б ->- 0 в операторной норме вытекает, что решеточная аппроксимация
dq>c6 гауссовой меры dcpc сходится к ней при б -*¦ 0 в смысле сходимости
характеристических функционалов (преобразований Фурье). Эта сходимость
имеет место при произвольной размерности d.
Здесь подробно разбирается только случай граничных условий Дирихле.
Однако полученные результаты справедливы и в более общем случае
ковариационных операторов С из класса ?? с другими граничными условиями,
рассмотренными в гл. 7.
Для простоты пусть А - единичный куб в Rd:
А = {х = (хи ..., Xd): 0 ^ ха sgC 1, ос = 1, 2, ..., d}.
(9.5.1)
Можно рассмотреть также произвольную прямоугольную область
^ X • • • X Id, по-разному изменяя длину ребер куба. Оператор Лапласа с
граничными условиями Дирихле диагонализуется с помощью разложения в ряд
Фурье по ортонормированному базису
d
Ч (х) = 2Й/2 П Sin (kaxa), ka е nZ+. (9.6.2)
a=*l
(По повторяющимся индексам суммирование не производится.) При этом
