Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь <•, •> обозначает скалярное произведение в вещественном
пространстве Ь2.
Дифференцирование функционалов. Производная функционала Л(ф) на 2Ь'(Яй)
вдоль направления определяется формулой
= (9Л.3) т е->0 е
Здесь г|а производная, в зависимости от Л(ср), может существовать в
каждой точке, или как функция из Lp относительно меры ф(ф), и т. д. Вот
два примера производных от функций вида
(9.1.1):
?>П,ф(Пп = тр (/)ф(/)л-', еч>М = г|з(^еф^>.
В важном частном случае, когда if = 6* есть функция Дирака в точке х,
используется специальное обозначение:
8А (ф)/бф(х) = Вйх А (ф). (9.1.4а)
Для полиномов А с гладкими коэффициентами, т. е. для линейных комбинаций
мономов вида ф(fi) ... ф(/п), определение
9.1 Список полезных формул 189
(9.1.3) совпадает с алгебраическим определением, использованным в §
1.5 и 6.3. В случае негладких коэффициентов, например когда А в (9.1.1)
содержит локальные виковы произведения ^(л:)7, определение (9.1.3)
следует продолжить по непрерывности. Такое продолжение зависит и от
коэффициентов в Л, и от меры в функциональном пространстве, относительно
которой и проводится продолжение. Напомним, что ф(у) и :ф(у)': нельзя
рассматривать ни как функции на ЗУ, ни как операторы умножения. На самом
деле Ф (у) и :<${у)!'. являются билинейными формами с соответствующими
областями определения, поэтому либо нужно понимать равенство (9Л.4а) как
равенство билинейных форм, либо рассматривать 6/8ф(л:) как обобщенную
функцию по переменной х, а тогда равенство (9.1.4а) приобретает смысл
после интегрирования по х. Другим примером служит
6ф ("/) /8ф (х) - 8(х - у). (9.1.4Ь)
Определение викова упорядочения относительно ковариации С (§ 8.5). Пусть
ск == би*С*8и. Тогда
[п/21 ,
:ф"(де):с ===== lim ? -S=^J±-C (х)'Фч(*)п~2/. (9.1.5)
Дифференцирование виковых полиномов:
б:Л:с/бф(л:) = :бЛ/бф (х) :с. (9.1.6)
Пример: б:ф(г/)п:с/бф(л:) = п8(х - у) :ф(у)п~и.с-Умножение виковых
полиномов:
ф(/):Л(ф):с = :ф(/)Л:с + "СД б/бФ>:Л:с). (9.1.7)
Пример:
ф (х) :ф (у)п'с - :ф М Ф (У)п'с + пС (х> У) :фп_1 (у)'с- (9.1.8)
Инфинитезимальное изменение викова упорядочения. Пусть С(t)-< семейство
ковариационных операторов, гладко зависящее от t, Тогда
d • А-с(9.1.9) Здесь С = (d/dt)C(t), а
Дс-<С^. -?ИС(9.1.10)
обозначает дифференциальный оператор второго порядка в пространстве
функций ф, отвечающий оператору С.
Пример дифференцирования (9.1.9):
d:<f(x)n:C{t}/dt = -(n2)C(x, х) :q>(x)n~2:C{iy (9.1.11)
190 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Конечное изменение викова упорядочения. Если С\ и С2- ковариационные
операторы из класса ^ и ёс(х) = Пт[С2(х, у) -
у-±х
- Ci{x,y)], то
[п/2]
:(PW%, = E \n~^)iW6c{x)i'Мх)П~21:^' (9ЛЛ2)
Это равенство следует из (9.1.2) и формулы (1.5.12) для полиномов Эрмита.
Доказательство формулы (9.1.6). Пусть h (X, q>) = exp |^Яф (/) -^ X2 (/,
C/)J, так что :<f(f)n:c - dnh(\,<f)ldXn \1=0. Тогда
6 We = Sn h (К Ф) I. - Ssr W (*) h (*• Ф)],.0 =
= "/U) I ¦ " h (X, ф)1 = nf (х) :ф (f)n~l:c = ¦ .-ф
(/)":<¦
бф (*) и7 'с бф (*) ' т/ |^=о dXn 11 v 7 v ' ^7Jb=-o
Г- d" А (Я, ф)1
L -1я.=о бф (x)
Полилинейность полиномов Вика и так называемое поляризационное тождество
... хп = 2~п (га!)-1 ? 8i ... ея(в1*1 + ... + е"лгл)" (9.1.13)
В j = ±1
позволяют доказать (9.1.6) в случае А = ф(/i) ... ф(/л). Для А вида
(9.1.1) с гладкими коэффициентами у полинома Л равенство можно получить,
суммируя сходящийся ряд разложения экспоненты. Для доказательства формулы
в случае, когда Л содержит полиномы Вика из § 8.5, мы должны ограничиться
лишь функциональным пространством, в котором сосредоточена мера, и
распространить определение D, на функционалы Л(ф).
В случае d = 2 для гауссовых мер и Р(ф)-мер в конечном объеме в гл. 8
было введено ультрафиолетовое импульсное обрезание для полиномов А. В
результате получается полином с гладкими коэффициентами, для которого
выполняется (9.1.6). После интегрирования по х, как в (9.1.4), в
полученной формуле можно перейти к пределу при снятии обрезания (это
вытекает из оценок § 8.5). Таким образом, определение Df можно продолжить
по непрерывности так, что останется справедливой формула (9.1.6).
Доказательство формулы (9.1.7). Для определенной выше величины Л(Я, ф)
находим, что
<С/, б/6ф>л (X, Ф) = Л</, С/>Л (X, ф).
Таким образом,
:<Р </)":с = h
П- 1
= 1(ф (/) " * Q' Cf)) Н (Л' Ф)]^° =
= ф(/):ф(/)'1"1:с-<С/, б/бф) :Ф (f)n~u-c- (9.1.14)
Применяя (9.1.13) и суммируя сходящиеся ряды для еф^, получаем (9.1.7) в
случае гладких коэффициентов. Общий случай доказывается введением
ультрафиолетового обрезания, а затем снятием его, как в § 8.5.
Доказательство формулы (9.1.9). Для Л(ф)=е(ч>^, используя обозначение
(9.1.10), имеем
Ж :А:С ,0 = 4г е*Р (? </• с "*> + /(Р (Я) =
= т </. с (О /) :Л:С ю - - j :^:с w (9.1.16)
Преобразование Фурье (Характеристическая функция. Среднее О, ковариация
С):
9.1 Список полезных формул 191
Для того чтобы доказать формулу для полиномов,'заменим в предыдущем
равенстве f на Xf и возьмем производную соответствующего порядка по X в
