Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть m~l + (M/m) + п + |Л| ^ К. Тогда
N(Tf) const-N(f) + const, M(Tf) ^ const-M(f),
где константы зависят только от К.
Доказательство. Оценку для 8с(х) получим в два этапа. Представим
операторы Ci, Сг в виде выпуклых сумм операторов (-Прежде всего перейдем
от граничных условий б, в каждом операторе Лд. к свободным граничным
условиям для оператора Лапласа Д. На втором шаге заменим массу ту
некоторым фиксированным значением m е [m, М].
Разность бс(х), возникающую на первом шаге после перехода к новым
граничным условиям при фиксированной массе m^ m, можно оценить при помощи
логарифмических неравенств (7.6.2) и (7.6.19), используя допущения
относительно объема ]Л| и массы пг~1. Получим, что || бс (х) ||^ (Л> < R,
причем постоянная R зависит только от К и р < с". Теперь оценки для N
(Tf) и M(Tf) вытекают из равенства (8.6.1) и неравенства Гёльдера,
примененного следующим образом:
'С">"й 'We-
8.6 Негауссовы интегралы для случая d = 2 18Г
Здесь h равно либо f,, либо /,•//", I ^ ^ я. Поскольку л по условию
ограни-
чено, постоянные можно выбрать зависящими только от К.
Таким образом, осталось рассмотреть, что происходит при изменении массы в
свободной ковариации С0. В этом случае б с(х) = (2л)-1 In (га, /т), что
равномерно ограничено для всех га, m, е [т, М], так что К~1 ^ my/m К.
Теперь оценки для N(Tf) и М(Т[) при замене массы снова следуют из
допущения относительно |Л| и неравенства Гёльдера. |
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 8.6.2. Пусть функция f удовлетворяет условиям (8.6.4), а
операторы С\, Сге^т. Если m~l -f- (M/m) -f- п -f- |А | ^ К, то
$ехр(- :Р(Ф, /):С1)й?фСг<
< const exp {const |[ fJLjN(f) + (In (M (f) + l)f2}}. (8.6.7),
Если же || fn ||Loo + /71 1 + (M/m) + n + I A |< К, to
^ exp(- :P (ф, f):Ct) fihpCj< exp (const (N (f) + 1)). (8.6.8)
В обоих случаях постоянные зависят только от К.
Сначала мы рассмотрим случай С] = Сг = С. Доказательство проведем в два
этапа. Первым шагом будет установление полуограниченности функции :Р(ф,
f):c. Несмотря на то что многочлен Р(Ф, f) ограничен снизу, при виковом
упорядочении это свойство нарушается. Используя размазанную дельта-
функцию бк (7.1.5),. положим
фх = ф*бх. (8.6.9)
Тогда для :РХ: = :Р(фх, f):c имеется зависящая от к нижняя оценка: -О (In
х) <deg р)/2 ^ :РХ:. Эта оценка составляет содержание предложения 8.6.3.
На втором шаге устанавливается, что множество конфигураций фе(r)', на
которых значения полинома :Р: меньше чем inf :РХ:, имеет малую меру,
примерно порядка 0(е~'н&), где 6 > 0. Эта оценка следует из оценок
гауссовых интегралов в § 8.5 и является содержанием предложения 8.6.4.
Предложение 8.6.3. Пусть функция f удовлетворяет условиям
(8.6.4), а оператор С е ffm- Тогда при к ^ 2
- const [ || fn ||tI (In x)(deg P)l2 +1| f" ||Loe N (f)] < :P (Фи,
f):c. (8.6.10>
Константа в этом неравенстве зависит только от массы m и степени п = deg
Р.
Замечание. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства, рассмотрим моном
Р степени п - 4, т. е. возьмем fo = ... - /з = 0.
182 Гл. 8. Квантование = интегрирование
Заметим, что, в силу (8.5.5),
:фи (*)4: = Фх (х)4 - 6ск (х) фи (*)2 + Зси (х)2 = = (фк(*)2-3ск(*))2-
6ск(*)2-
Тогда по теореме 7.1.1 последнее выражение ограничено снизу величиной -
6ск(х)2 = -0(1пх)2. Интегрирование этой оценки дает неравенство (8.6.10).
Доказательство. Воспользуемся неравенством Гёльдера для интегралов по
мере
Правая часть последнего неравенства в силу оценки ab ^ ар + bq, a,b^0,
Р~1 + <?-1 = 1, не превосходит
Более того, если левую часть неравенства умножить на комбинаторный
множитель [//2]/!/((/ - 2/)!/!2г), то верна та же оценка с другой
константой а = а(е,п). Фигурирующее в этой оценке е произвольно, но
положительно. Выберем е малым и обозначим JC общее число членов. Тогда,
если 1 - JPz > 0, то, просуммировав по / и I и воспользовавшись
разложением (8.5.5), получим неравенство (8.6.10). Оценка || ск ||, ^ О
(In и) следует из свойства (LR3) (теорема 7.1.1). В
Li оо
Перейдем ко второму этапу доказательства интегрируемости экспоненты е~р,
а именно покажем, что высокоэнергетическая часть $Р полинома Р принимает
большие значения только на небольшом множестве конфигураций поля. Чтобы
придать этому утверждению точный смысл, определим
так что :Р: = :РИ: + 6РИ. Обозначим Х(к) множество конфигураций ф, для
которых |6Р*| ^ 1, т. е.
Предложение 8.6.4. Пусть и m~l + п -f- |Л| г=: К.
Тогда су-
ществует константа а, зависящая только от К, такая, что при % > 2
f"(x)dx. Пусть pj 1 = 0, р2 1 = (/ - 21)/п, р3 1 = (п - j)/n, р4 1 =
21/4, так что У] р"1 = 1. Оценим все члены со степенями фт, m < п,
старшим членом ф" полинома Р:
6РИ s= :Р(ф, f) :с - :Р(фи, f):c,
(8.6.11)
ВД={Ф: |'6Р,|^1}.
Х\к)
где г - константа из теоремы 8.5.3.
^ ^Фс<ехр[-a(xe/M(/))2/degf>]> (8.6.12)
8.6 Негауссовы интегралы для случая d - 2 183
Доказательство. Так как |ЬР1 на множестве Х(х), то для любого четного j
верно неравенство
J *ФС< J(6Pjdefc.
