Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 75

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 187 >> Следующая

X (х) <?'
п
Имеем 6ЯХ = ^ :(<р* - Фх)^ (М* Заметим, что член с индексом / = 0 отсут-l
= 1
ствует. Таким образом, 6есть сумма не более чем п} мономов, каждый из
которых имеет вид - ЛяО> где R{1) = и При-
/ = 1 г с
меняя следствие 8.5.4 при г = 1, ? гаг = rrii 5gC га и р^ = рт^ =
"Д/г - ппполучаем, что все такие мономы ограничены. Далее, || w1'^ \\lPi
- || fmi ||^ ^ № (/)-
В результате этих оценок получим, что
^ йфс <(/!)n/2 (const М (/) и-Е/, (8.6.13)
Jf (и)
где константа зависит только от К. Правая часть этого неравенства примет
наименьшее значение, если в качестве / взять наибольшее тетное
число, меньшее
(xe/const М (f) )2!п (константа та же, что и в (8.6.13)). После этого
применение
формулы Стирлинга приводит к неравенству (8.6.12). Щ
Для доказательства теоремы нам понадобится следующее элементарное
тождество.
Лемма 8.6.5. Пусть {X, d\i} -вероятностное пространство и g((p)e eLp(X,
dp.)-определенная на нем функция. Обозначим
Л(а)=ц{ф: а<|?(ф)1). (8.6.14)
Тогда
ОО
^\g\pd\x. = p ^ aP-'h(a)da. (8.6.15)
О
Доказательство. Формула (8.6.15) получается из равенства ^ | g |р =
ОО
= - ^ аР dh (а) при помощи интегрирования по частям.
о
Применим тождество (8.6.15) в частном случае р = 1. Для доказательства
того, что g ^ Li(dn), достаточно показать, что функция h(a) интегрируема
на бесконечности. Пусть, далее, а (к) - непрерывно дифференцируемая
монотонно возрастающая функция и а(и)->оо при к->оо; тогда, если функция
h(a(x))da(x)/dx интегрируема по х на бесконечности, то geLi(c4i).
Предположим,
184 Гл. 8. Квантование = интегрирование
что da (%)/йк ^ а(к)2. Тогда для е ^ к0 ^ к справедливо неравенство
\ lg №fro) + sup к2(а(к)2Л (а (к)). (8.6.16)
j К > Ко
.Доказательство теоремы 8.6.2. В качестве функции g(cp) возьмем ехр[-
:Р(ф, /):с], а функцию а (к) выберем в виде экспоненты от выражения,
стоящего в левой части оценки (8.6.10), т. е.
а (х) ^ ехр {1 + const [|| /" ||i[ (In %)(des р>/2 + || /" ^ JV (/)]}.
При таком определении da(>c)/dx ^ а(х)г. Разложим экспоненту: е~:Р: =* _
,р .
• "'в * По предложению 8.6.3
А (а (и)) < ^ йфс < ехр [- а (хе/Л* (f))2/d*e Р],
Х(х)
причем второе неравенство следует из предложения 8.6.4. Итак,
In {х2а (к)2 h (а (и))} < const (in к + || /" ||L ((In x)n/2 + N (/)) -
( ^ОО
- {ке/М (f)fn} + const. (8.6.17)
Предположим, что правая часть этого неравенства не превосходит
const || fn ||, [N (f) + {In (1 + M (f))}"'2] + const. (8.6.18)
"00
Отсюда следует неравенство (8.6.7). Более того, так как
M(f)<\\fn\\L (N(f) + n), (8.6.19)
"00
то верно и второе утверждение теоремы.
Теперь займемся доказательством оценки (8.6.18). Выберем к0 настолько
большим, чтобы из Ко ^ V. следовало 1 (In к)п ^ ие.
Случай 1\ ке ^ (1 + Af(f))'I+1. Отбросим отрицательные члены в правой ча-
•сти (8.6.17). Заметим, что || /" 11^ М (f). Следовательно,
|| fn ||Loo < const [1 + || fn {In (1 + M mnl2} (8.6.20)
¦Используя оценки (8.6.19-20), получим, что
In х < (я + 1) e_I In (1 + M (f)) < const M (f) < const || fn ||, (N (f)
+ n)<
oo
< const II fn II, [N (f) + {In (1 + M (f))}n>2] + const. (8.6.21)
^OO
Более того, в силу нашего предположения,
|| fn\\L (In х)"*2 < const ||f"||, On (1 + М Шп!2. (8.6.22)
¦°оо ^оо
Неравенства (8.6.21-22) в совокупности дают требуемую оценку (8.6.18).
Случай 2: Xе > (1 +М(/))П+1. В этом случае
= и&/4ие/4 >(1 + М (/))3 (,l+1,/4 (In х)п21\
8.6 Негауссовы интегралы для случая d = 2 18S
В силу элементарного неравенства {(3(я + 1)/4) - 1} (2/п) = 1 + -j (l - п
]) > 1 я оценки М (f) >|| fn ||, , получаем, что
^ОО
(:ке/М (f)fn > (1 + Af (f)) (In x)n/2 > In к + Ц fn ||, (In x)n/2.
oo
Поэтому выражение (8.6.17) ограничено сверху величиной const || fn II, N
(f),_.
^OO
и тем самым оценка (8.6.18) доказана.
Этим завершается доказательство теоремы в частном случае Сi = Сг, к
которому мы сведем сейчас общий случай. Достаточно установить оценку
(8.6.7). Пусть :Р (ф, f):Ci = :Р (ф, Tf):Ci. Воспользуемся доказанной уже
в частном случае оценкой (8.6.7), в которой набор f заменен на Tf. С
помощью предложения 8.6.1 и неравенства (8.6.20) получим, что
IIfn II, [tf (Tf) + {In (1+Af (Tf)))n'2] <
* "OO
^const || fn II, [N (Л + {1п(1+Л1(И))п/2] + const.-
i-OO
Отсюда и вытекает оценка (8.6.7). |
Замечание 1. Из доказательства теоремы 8.6.2 можно извлечь еще одну
оценку, которая пригодится нам при изучении фазовых переходов в гл. 16.
Пусть ттх + (М/т) + п + | Л| ^ К и существуют функция L(f) и постоянная,
зависящая только от К, такие, что
- const [(1 + М (f)) (In к)п12 + L (f)] < :Р (Фи, f):c,.
Тогда
^ ехр( :Р (Ф, f):Cl)<*PCl<
< const ехр {const [L (f) + {1 + M (f)} {In (1 + M (f))}np] },
(8.6.23)'
причем константы здесь также зависят только от К.
Замечание 2. При помощи масштабных преобразований из доказанных
неравенств можно получить еще один результат. Для произвольного а > 0
рассмотрим преобразование массы m->-m/a и расстояния х^-ах. Пусть Св(т) -
(-Ав + m2)-1, где В обозначает какие-нибудь классические граничные
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed