Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
мерой изингова типа
<*цА = 2(ЛГ'ехрГ-Yj - ^')21 П dv (^)> <5-5Л)
I < (= Л It!
L |?-i'1-1 J
где %i е S1 есть единичный вектор в двумерном пространстве, а dv(|)-
равномерное распределение на S1. Действие группы преобразований симметрии
?/(l) = SO(2) задается одновременным поворотом всех спиновых векторов
1Теорема Мермина - Вагнера утверждает, что для любых граничных условий
lim d\i = d\i есть
Л ^ оо
мера, инвариантная относительно этой группы симметрий и эрго-дическая
относительно трансляций (см. § 16.3).
Несмотря на единственность основного состояния, простая и весьма
привлекательная'теория, построенная в работе [Kosterlitz, Thouless,
1973], предсказывает существование в этой модели фазового перехода при
всех Т < Тс, где Тс - некоторая положительная температура. Этот фазовый
переход, с одной стороны, связан с вырожденностью многочастичных
состояний при Т < Тс, а с другой стороны, его можно интерпретировать в
рамках теории среднего поля. В частности, конфигурации ХУ-модели можно
рассма-
5.5 Пример 105
тривать как суперпозицию двух независимых конфигураций. Переходя к
угловым переменным: ? = (cos 0, sin0), напишем 0 = = 0сп. в -f- 0в, где
0сп. в связано со спиновой волной, а 0В есть вихревая часть конфигурации.
Приближение среднего поля предполагает независимость распределении 0сп.в
и 0в. При этом энергия спиновой волны 0сп. в есть кинетическая энергия
двумерного безмас-сового возбуждения, а энергия вихревой части 0В
определяется энергией двумерного газа диполей с кулоновым
взаимодействием. (Вихри всегда возникают парами, что приводит к конечной
энергии конфигурации, и каждая пара образует элементарный диполь.) Таким
образом, легко понять, как устроены парные корреляцион-
т(Т) т(7)
Рис. 5.6. (а) Предполагаемая зависимость обратного корреляционного
радиуса от температуры для двумерной модели ротаторов. Имеется линия
критических точек при Т < Тс. (Ь) обратный корреляционный радиус для
двумерной модели Изинга.
ные функции в модели ротаторов. В приближении среднего поля энергии
складываются и, следовательно, средние перемножаются:
Так как вихревое среднее ограничено единицей, двухточечная функция
стремится к нулю на бесконечности при всех Т в соответствии с теоремой
Мермина - Вагнера. Вихревое среднее (кулонов газ диполей) при высоких
температурах (малых [3) убывает экспоненциально, что дает
экспоненциальное убывание корреляций <!<!/>. Это неупорядоченная фаза.
При низких температурах, Р ~ Т~1 0, ожидается конденсация диполей,
приводящая к даль-
нему порядку для корреляций вихрь - вихрь. В этом режиме <l;S/> убывает
не экспоненциально, а степенным образом. Корреляционный радиус гп(Т)-\
характеризующий экспоненциальное убывание: <|;|/> ~ ехр (-m\i - /|),
обращается в оо при Т < Тс, Поэтому естественно ожидать, что обратный
корреляционный радиус ведет себя так, как показано на рис. 5.6(a).
Масштаб выбран в соответствии с предполагаемым асимптотическим поведением
/п(Г)~ехр(-с(Т-Тс)-1/2) при 7\ТС [Kosterlitz, 1974]. Для сравнения на
рис. 5.6(b) изображен аналогичный график для двумерной модели Изинга с
асимптотическим поведением пг(Т) ~
Тс
¦Т
106 Гл. б. Теория поля
~[ Т - Тс\. Критические индексы и асимптотическое поведение вблизи Тс
подробнее обсуждаются в § 17.7.
Резюмируя, можно сказать, что фазовый переход в модели ротаторов связан с
обращением в нуль обратного корреляционного радиуса или массы при всех Т
^.Тс. В этой области нет дальнего порядка, основное состояние
единственно, но щель в спектре трансфер-матрицы отсутствует. Фазовый
переход можно интерпретировать как конденсацию диполей в пространстве
состояний ротаторов. К настоящему времени приведенная картина фазового
перехода, построенная Костерлицем и Таулессом, не подкреплена
математически, но выглядит весьма убедительной1).
Отметим в заключение, что, как предполагается, в некоторых калибровочных
теориях фазовые переходы характеризуются убыванием операторов
параллельного переноса. Эти фазовые переходы тоже происходят в теориях с
единственным основным состоянием, но описываются в рамках картины
среднего поля с помощью вихревых конфигураций.
Литературные ссылки
[Domb, Green, 1972], [Ruelle, 1969], [Stanley, 1971], [Синай, 1980].
Глава 6 Теория поля
В этой главе мы на формальном уровне введем понятие квантового поля. На
этом будет закончено изложение предварительного материала. С другой
стороны, эту главу можно рассматривать как подготовительную ко второй
частн. Читатели, знакомые со статистической механикой и квантовой
теорией, могут начать сразу с этой главы.
6 1 Аксиомы
(i) Евклидовы аксиомы
Мы определим квантовое поле при помощи его аналитического продолжения на
мнимые значения времени. При таком продолжении метрика Минковского,
определяющая волновой оператор
Я2 Ж М Я2
? = -TT + TT + fr+ ••• (6-1.1)
дхц дх1 дхг dxd-i
*) В настоящее время имеется математически строгое доказательство
существования фазового перехода в модели плоских ротаторов. См.
