Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
[Frohiich, Spencer, 1981b], - Прим. ред.
6.1 Аксиомы 107
заменяется евклидовой метрикой (причем уславливаются, что Xd = ixo),
определяющей оператор Лапласа
г-i oxi
По этой причине поля, определенные для мнимых значений времени,
называются евклидовыми. Евклидовы поля задаются вероятностной мерой =
c/|.i на пространстве обобщенных функций
3)'{Rd), где d-размерность пространства-времени. Здесь мера d\i играет
роль распределения Фейнмана - Каца в квантовой механике (см. гл. 3). В
дальнейшем поля мы будем обозначать буквой ф. Обозначение q из гл. 3
сохраним для систем с конечным числом степеней свободы. Введем еще одно
соглашение: значение обобщенной функции ф ^2D'(Rd) на основной функции/е
s=Co°{Rd) обозначим
ф(/) = (ф, />= $Ф (x)f(x)dx. (6.1.3)
Rd
Значению функции ф(л;) в точке в последнем интеграле можно придать только
формальный смысл. Определим характеристический функционал как обратное
преобразование Фурье борелевской вероятностной меры d\i на пространстве
2)' (Rd) (см. теорему 3.4.2):
5{/} = J (6.1.4)
Начнем с перечисления аксиом, которые характеризуют интересующую нас меру
d\i. Они чуть сильнее тех, которые изложены в работах [Osterwalder,
Schrader, 1973b, 1975]. Это аксиомы аналитичности, регулярности,
евклидовой инвариантности, OS-положительности при отражениях и
эргодичности. Сформулируем их подробно.
OS 0 (Аналитичность) . Функционал S{f} является целой аналити* ческой
функцией. Точнее, для любого конечного набора основных функций f,^?D(Rd),
/ == 1, 2.......N, и комплексных переменных
z={zi, ..., глг}е См функция | 2 2///j на пространстве
CN является целой. Другими словами, мера d\x убывает на беско-нечности
быстрее любой экспоненты.
OS 1 (Регулярность). Существуют такое р, 1 ^ р ^ 2, и такая постоянная с,
что для любой функции f^0(Rd) справедлива оценка
|S{f}|<expc(||/||Li+imiy. (6.1.5)
В случае р - 2 дополнительно вводится еще одна аксиома регу-
108 Гл. 6. Теория поля
лярности: существует двухточечная корреляционная функция (т. е. второй
момент меры d\x). Как функция разности аргументов xt-х2, она принадлежит
пространству локально интегрируемых функций L\oc(Rd). В частности, в
совпадающих точках х\ = х2 она имеет только интегрируемые особенности1).
OS 2 (Инвариантность). Функционал S{f} инвариантен относительно
евклидовых движений Е в пространстве Rd (т. е. сдвигов, поворотов и
отражений): S{f}= S{Ef}. Другими словами, мера d\i евклидово-инв-
ариантна, так что d\x, = Ed[i.
Заметим, что отображение Е: непрерывно, поэтому
действие преобразования Е на пространстве ?D'(Rd) можно определить по
формуле (Еф) (/) = ф (Ef). Нам понадобится следующий класс функционалов
экспоненциального типа:
Из определения (6.1.6) видно, что функционал /!е^ принимает комплексные
значения.
Согласно аксиоме OS 0, все функционалы из множества Ы- интегрируемы, а
так как само S& является алгеброй, то все они принадлежат пространству LP
для любого р <. оо. Поскольку мера d\\, евклидово-инвариантна, евклидовы
преобразования определяют непрерывную унитарную группу, действующую в
пространстве L2(d\x) (элементы которой также обозначаются Е). При этом
(ЕА) (Ф) = Л(?ф), (6.1.7)
OS3 (OS-положительиость при отражениях). Пусть обо-
значает подмножество тех функционалов (6.1.6), у которых носители функций
fj лежат в полупространстве R+ = {х, t: ^ > 0}, т. е. ^еС^). Предположим
далее, что отражение относительно гиперплоскости пространственных
переменных 0: {х, t} ->- {х, -/} удовлетворяет неравенству
о<<ел, Л)ь= jjeX4c^. (6.1.8)
*) Иногда удобно формулировать аксиомы в терминах самого поля Ф eS>'(Rd).
Поступив таким образом, можно доказать сначала существование функционала
S{/} для любой функции f(x) из основного пространства С", а затем и
оценку (6.1.5). Из этой оценки вытекает, что Sff} продолжается до
непрерывного функционала на пространстве Шварца 9(Rd) быстро убывающих
функций. Воспользовавшись затем стандартными рассуждениями теории
функциональных интегралов, можно показать, что в таком случае мера dji
сосредоточена на пространстве 9"(Rd) [Гельфанд, Виленкин, 1964]. В случае
свободных полей (т. е. гауссовых мер) с ковариационными операторами С:
9*9' мы часто будем обходиться без пространства 2D', определяя меру d\i
непосредственно на пространстве 9".
6.1 Аксиомы 109
В терминах функционала S{f} это требование эквивалентно следующему: для
любой конечной последовательности функций
fi ?DBtm{Rd) матрица
(6.1.9)
положительна (т. е. все ее собственные значения неотрицательны).
OS 4 (Эргодичность). Подгруппа T(t) временных сдвигов эргоди-чески
действует на пространстве с мерой {&>'(Rd), d(-i)}- Это означает, что для
всех функций A((p)^Li t
lim 4" \ Т (s) ^ (ф) Т (s)_1 ds - \ А (ф) d\i (ф). (6.1.10)
t-fOG ' J J
Заметим, что из соотношения (6.1.10) следует, что стоящее в
левой части среднее по времени не зависит от ф.
Эти аксиомы имеют определенный физический смысл; они описывают
аналитическое продолжение квантовых полей в пространство Минковского.
