Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 46

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 187 >> Следующая

Доказательство. По определению для любых двух элементов Д,Ве? +
+ -Л (В + jrT)ye = <ед В),
а в силу неравенства Шварца в пространстве &
I! (Л + Jfr 11% = <М, А)г < II А II, II QA I, = IIА ц2. в
Следующий результат позволяет определить гамильтониан, а тем самым
аналитическое продолжение поля в пространство Мин-ковского. Пусть Т(Е)~
унитарное представление евклидовой группы движений пространства &,
определенное в силу аксиомы инвариантности OS 2. Кроме того, пусть Т(t)-
подгруппа временных сдвигов.
Теорема 6.1.3 (Реконструкция квантовой механики). Пусть вероят~ постная
мера d\i на пространстве 3)' удовлетворяет свойствам положительности при
отражениях и инвариантности при отражениях и временных сдвигах. Тогда при
t ^ 0 для полугруппы операторов T(t) выполнены соотношения (6.1.13) и
T{t)r'-e-tH. Здесь
112 Гл. 6. Теория поля
О ^ И = И*, а для вектора ?2 == 1 верно равенство НО. - 0. Другими
словами, Н - положительный самосопряженный оператор, для которого вектор
Q является основным состоянием.
Доказательство. Очевидно, что T(t): 8 + -*¦&+. Если А е И(r), то, пользуясь
унитарностью операторов Г, получим, что
<0Г (О А, Т (t) А)% = (Т (- t) 0Л, Г (<) А\ = (0Л, Г (20 Л>4 <
<<0/4, A)^2(QT (20 Л, 0Г (20 A)*f = 0, (6.1.14)
где последнее неравенство вытекает из неравенства Шварца для формы
(6.1.11). Отсюда следует, что l(t)'. Jf -*¦ Jf и, значит, оператор T(t)~
корректно определен. Для удобства обозначим R(t) = T(t)~ . Теперь
приступим к проверке следующих четырех свойств семейства операторов R(t):
(i) полугрупповое свойство: R(t)R(s) = R(t -f s), s, t ^ 0;
(ii) эрмитовость;
(iii) R(t) - сжатие: II R(t) II № < 1,
(iv) сильная непрерывность: R(t) -*¦ l при t-*¦ 0.
Эти свойства означают, что R(t) - сильно непрерывная полугруппа
самосопряженных сжимающих операторов. Следовательно, существует
положительный самосопряженный оператор Н, такой, что R(t) = e~iH. Кроме
того, Г(01 = 1. Поэтому для Q гг 1 получим, что e~tHQ = (T(t))~ = Q, или,
что то же самое, НО, = 0.
Свойство (i) следует из полугруппового свойства для семейства T(t)\
точнее, в силу соотношений (6.1.12), имеем
R(t)R(s) = (T(t)T(s))' = 7'(f+ s)' = RU + s).
Свойство (ii) доказывается следующей цепочкой равенств, верных для любого
элемента /1е^+:
{R (0 А, А) = <(Г (0 АУ , А)м = <0Т (t) А, Л>, = (Г (- t) QA, /1>$ =
= <6Л, Т (t) Л>4 = <Л, (Т (0 А)~)№ = (A, R (О А)х.
Для доказательства свойства (iii) воспользуемся неравенством Шварца и
доказанными утверждениями (i), (ii). Их применение к А е <8 + дает
I! R (0 А И* = (R (/) A, R (О А)"2 = <Я, R (21) А)\>2 < || 2 || R (2/) А
|(?.
Продолжая действовать таким же образом, после л-кратного применения
неравенства Шварца получим, что
ii r (о а цж < и a fa2_n ii r <2"/) л и2:"=
= II 'A t2'" I! (Т (2"0 АУ \&п< || А ||^2~" IIА IIfn
Здесь мы также воспользовались предложением 6.1.2 и унитарностью
семейства T(t). Полагая п оо, получим, что || R (t) А \\^ < || А |Ц,
Гак как такие элементы А плотны в пространстве Ж свойство (iii)
доказано.
Для того чтобы доказать свойство (iv), заметим, что семейство T(t) сильно
непрерывно на подпространстве 8+, а отображение ' является сжатием из $+
в 3(r). Следовательно, семейство R(t) сильно непрерывно на плотном
подмножестве в пространстве 2/6, составленном из векторов А, где А ->-&+.
Поскольку И"(<) II < 1. отсюда следует, что семейство R(t) сильно
непрерывно и на всем гильбертовом пространстве 36. Ц
6.1 Аскиомы ИЗ
Замечание (Трансфер-матрица в статистической физике). В случае решеточных
полей, изучаемых в статистической механике, поля ф* или определены на
некоторой решетке, например х е Zd. Поэтому аксиомы регулярности и
инвариантности следует применять здесь в модифицированном виде. При этом
положительность при отражениях используется для определения трансфер-
матрицы К, которая играет роль оператора е~н.
Мы требуем инвариантности меры d\i относительно группы Т(х) сдвигов и
отражений решетки, в частности относительно отражения 0 в гиперплоскости
П, расположенной на равных расстояниях от двух соседних параллельных
гиперплоскостей решетки и параллельной им. (В качестве П мы возьмем
гиперплоскость t - 0.) Тогда из приведенного выше доказательства следует,
что существует гильбертово пространство состояний Ж, являющееся
пополнением факторпространства <!f+/./f по норме, определенной скалярным
произведением
(А, В)х - jj QAB d\i.
Более того, на пространстве Ж существует самосопряженный оператор К,
такой, что К* = Г(/)~, t е Z, 0 /( ^ /, а ?2 = 1 является
инвариантным вектором оператора К: KQ = ?2.
Аналогично, пространственные сдвиги (в направлении х, ортогональном оси
t) порождают семейство унитарных операторов
Щх) = ПхГ = Пс/?*,
г = 1
для которых ?2 тоже является собственным вектором: U(\)Q = Q.
Единственность вакуумного вектора Q (однократность собственного значения
1 оператора К) и в этом случае эквивалентна эргодичности меры d\i под
действием временных сдвигов. Для решеточной трансфер-матрицы остается
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed