Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
обращается в нуль только в случаях чистых фаз а = = 0, 1.
В § 16.1 мы покажем, что обращение в нуль при
|i - /|=оо является необходимым, а часто и достаточным условием для того,
чтобы мера d\i была чистой фазой.
В статистической механике смешанные состояния имеют физический смысл
(например, смесь льда и воды), в то время как в квантовой теории поля
экспериментальные факты свидетельствуют
о единственности вакуума.
5.2 Приближение среднего поля
Для обсуждения проблемы фазовых переходов на интуитивном уровне удобно
использовать решеточные поля (2.3.1-5) или их непрерывные пределы,
определяемые формальным выражением
d\x.-Z~l ехр Г- ^ [4-(Уф)2 +Р(ф)]^1 Д^ф(*), (5.2.1)
L J х
где вместо поля ?(-, i^Zd, рассматривается непрерывное поле ф(*)', x^Rd.
Меру (5.2.1) нужно понимать как меру на пространстве 8Р'(Rd) обобщенных
функций умеренного роста. Математические вопросы построения такой меры
обсуждаются в гл. 6-12.
Естественно ожидать, что мера d\i вида (2.3.5) или (5.2.1)
сконцентрирована вблизи конфигураций, доставляющих максимум экспоненте,
т. е. вблизи минимумов выражения
2 [т№2+ *>&)]¦ (5.2.2)
imZd
Разумеется, этот минимум достигается при
?г = Iе для всех i, где Iе = глобальный минимум Р(-). (5.2.3)
Глобальные минимумы называются классическими значениями переменной ?. В
простейшем приближении (уточняемом ниже|
5.2. Приближение среднего поля 93
единственность минимума указывает на отсутствие фазовых переходов, а
наличие нескольких минимумов 1°, 1°, ... означает возможность фазового
перехода с различными мерами (состояниями) в бесконечном объеме (чистыми
фазами)
d]i%Cr d\ilC', ... (5.2.4)
и общей мерой, являющейся выпуклой суммой чистых фаз:
d\i - а^с dn^c + а^с' dn^ + ... . (5.2.5)
Описанная картина нуждается в уточнении. Иногда такая картина приближенно
верна, а иногда она приводит к совершенно неверным результатам. Для того
чтобы выяснить, какая ситуация имеет место, вспомним исходную предпосылку
о статистическом поведении флуктуаций около ?с. Пусть
Ъ = Ъ~1С (5.2.6)
есть поле флуктуаций. Перепишем Р(|) в виде полинома от %. Поскольку есть
глобальный минимум,
Р(1)*=Р (Iе) + т Р" (Г) X2 + 1Р"' (Г) X3 + .... (5.2.7)
Простейшим критерием того, что классическая картина приближенно верна,
служит выполнение следующих двух условий: (а) Р" больше всех старших
производных:
Р"(1С) > Ри)(1°) для всех /^3; (5.2.8)
(Ь) член старшего порядка в Р сильно невырожден в следующем смысле: |
Р('> (?е) | ^ const PW (ge) для всех 3 eg; / < n = deg Р.
Грубо говоря, условие (5.2.8) означает, что потенциальный барьер,
отделяющий от других минимумов, должен быть достаточно высоким и широким.
Предположим, что это условие выполнено, и рассмотрим (квазиклассическое)
приближение
Ркв.кл = Р(Г) + т^"(^)Х2. (5.2.9)
Тогда Р кв. кл есть квадратичный полином, и мера
- ^ Lit ((tm)*)2+ркв. кл (^) ]
^кв. кл= ZK3. кл(r) ' П dK (5-2Л°)
teiZd
будет гауссовой со средним <х;>кв. кл = 0, т. е. <?>кв. кл = 1е. Мера
^(Акв. кл является промежуточным звеном между истинной мерой d\i и
классическим приближением (Классическое приближение может быть записано в
виде меры ф.а*= б0(| - 1е), где б0 есть мера в пространстве функций,
сосредоточенная в точке ? s 0.) Квадратичный член (~ х2) в энергии РКв.
кл приводит к линейным силам взаимодействия и к линейным уравнениям
движения. Поэтому
94 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
(5.2.10) есть линеаризация статистической задачи в окрестности
классического значения Iе. В статистической механике поправки более
высокого порядка в (5.2.7) часто вообще не рассматриваются.
Статистические свойства гауссовых мер легко описать (см. также гл. 3 и
6). Ковариация меры (5.2.10) совпадает с ядром оператора (-А -j- Р"(%с)
)-1. На больших расстояниях асимптотическое поведение корреляций имеет
вид
{XiXiU. к, = ядро (- А + Р" (Г))-1 ~ I г - / 1)12е~р" (^)1/2' >
(5.2.11)
(с точностью до поправок, связанных с решеточной структурой). В
частности, при Р" > 0 флуктуации ц имеют экспоненциально убывающие
корреляции, т. е., как и ожидалось выше, слабо зависимы.
Квазиклассическое приближение (5.2.9-10) может быть использовано в
качестве главного члена разложения, подобного разложению Майера в § 2.4,
но значительно более сложного. Так же как в разложении Майера р - p-'z +
b2z2 -f ..., взаимодействие приводит к поправкам в давлении р = P-1z,
отвечающем нулевому взаимодействию (идеальному газу), члены старших
порядков (1/3\)Р'"dc)y? ... в (5.2.7) вносят аналогичные изменения в
теорию. Одно из уточнений относится к случаю, когда значения Р(\) в
различных минимумах совпадают: Р (?с) = Р (|с). При этом взаимодействие
может полностью исключить фазовые переходы. Тем не менее Р и d\i близки к
фазовому переходу в том смысле, что для некоторого полинома Р3фф = Р +
6Р, где полином бР мал, действительно происходит фазовый переход. При
этом для одной из чистых фаз <?"¦> = ?с, для другой (?() = ЕС и т. д.
Полином бР можно рассматривать как эффект перенормировки; его вычисление
