Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
нарушении симметрии. Например, в модели Изинга с h =* 0 действие
инвариантно относительно преобразования ?г->--%i при всех I. Тем не менее
при
*) В одномерной модели Изинга фазовый переход происходит при Г = 0. При
этом все спины жестко скоррелированы, что отвечает случаю rj = 1. - Прим.
перев.
5.3 Нарушение симметрии 97
Р > рс имеются две чистые фазы dy.±, для которых симметрия нарушена:
М+ = ^ hdn+ -- ^ tid}x_ ф 0. Фактически ф+(|) =
= d[i-(-I), так что симметрия отображает два основных состояния одно в
другое.
В этом примере нарушением симметрии объясняется появление фазового
перехода. Возможна, однако, и другая ситуация, когда фазовый переход не
связан ни с какой симметрией (ни с ее нарушением). Так обстоит дело для
решеточной теории со взаимодействием Р(ф) вида
Р(ср) = ?ьф2(ф2 - а)2 + еф5 - /лер. (5.3.1)
Фиксируя X, а, е-1 " 0, можно найти такое ц = ц(Х, a, s) вблизи нуля, что
Р(ф) имеет два глобальных минимума (один вблизи ф = 0, другой при ф 0).
Поэтому на основании приближения среднего поля (§ 5.2) мы ожидаем
появления фазового перехода для Р + 6Р при некотором малом б Р. Здесь
фазовый переход происходит без изменения группы симметрий.
Рассмотрим еще ряд примеров. Другой тип фазового перехода, не связанного
с нарушением симметрии, есть переход жидкость - газ. В этом случае каждая
из двух фаз симметрична относительно евклидовой группы Ж (R3) симметрий
пространства R3. С другой стороны, переход жидкость - твердое тело
сопровождается нарушением симметрии относительно группы е?(Р3). Твердое
тело, рассматриваемое как совершенный кристалл с решеткой ?, имеет группу
симметрий
&{?) = {g^Z(R3): g? = ?),
являющуюся дискретной подгруппой &{R3). В этом примере решетка ? задается
кристаллическим состоянием (отдельные атомы кристалла могут колебаться
вокруг положений равновесия, определяемых ?, но как целое решетка ?
неподвижна). Эквивалентные, но не совпадающие с ? решетки g? ф ? не могут
возникнуть из состояния с решеткой ? в результате статистических
флуктуаций атомов. Другими словами, g? и ? определяют различные состояния
или фазы. Часто решетка ? (или g?) полностью определяет статистическое
состояние. Это означает, что переменные, характеризующие состояние
жидкости (давление, температура и т. д.), должны быть дополнены новой
переменной % = описывающей состояние твердого тела. Новая переменная
l<=&(R3)/%(?) (5.3.2)
пробегает пространство классов смежности, т. е. пространство
неэквивалентных решеток. При фиксированных значениях исходных переменных
(давления, температуры и т. д.) любое состояние является, вообще говоря,
смесью различных ^-состояний. Следовательно, его можно представить в виде
интеграла по составляющим фазам, помеченным индексом Осеченное нами
явление можно
98 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
сформулировать в общих терминах. В простейшем случае ^-состояния являются
чистыми фазами, и переменная ? из (5.3.2) пробегает множество всех чистых
фаз.
В качестве другого примера фазового перехода с нарушением симметрии
рассмотрим решеточное поле ?*(9) с четным полиномом Р. При четном Р
теория обладает симметрией ср -ср. Если вместо Р подставить в (2.3.1-5)
полином
?>(ф)+°гф2 (ПРИ фиксированном Р), (5.3.3)
то на основании § 5.1 можно ожидать, что при о " 1 и фиксированном р
теория единственна (т. е. фазовых переходов нет), в то время как при а -1
и фиксированном р возникают две различные теории (чистые фазы),
переходящие одна в другую под действием ф <-*¦ -ф. В обоих случаях
группой симметрий служит Z2, а множество чистых фаз совпадает с
факторгруппой Z2/H, где Н - подгруппа симметрий отдельной чистой фазы (Н
= Z2 и Z2/# = =¦ {/} при с " 1; Н - {/} и Z2/H = Z2 при а <С -1).
При другом способе изучения фазовых переходов с нарушением симметрии
вводят в явном виде возмущение: нарушающий симметрию оператор. Например,
поле ф не инвариантно относительно симметрии ф -ф, и взаимодействие
Р(ф) + оф2 - Лф (5.3.4)
рассматривается как возмущение (5.3.3).
С точки зрения теории магнетизма h представляет собой внешнее магнитное
поле. Оно нарушает симметрию магнетика ф <-*¦ -ф (вверх - вниз), т. е.
намагничивает его. Пусть
М = { Ф(х)> (5.3.5)
есть намагниченность. Здесь <•> - среднее по мере d\i, определяемой
формулой (2.3.5). Положим
йц - d\ia, h = d\ia, h, p, p (5.3.6)
и M = M(ex, h). Величина M, называемая параметром порядка, используется в
качестве характеристики фазового перехода. На рис. 5.2 показана область
фазовых переходов для случая Р(ср) = = ф4.
Из теоремы Ли - Янга следует, что для Р - q>4 при h Ф О имеется
единственная чистая фаза (нет переходов). То же самое вытекает из
кластерного разложения при сг 1. Кластерное разложение другого типа
(двухфазное), применимое в случае а <С -1, доказывает существование по
крайней мере двух фаз. При а " 1 параметр М является гладкой функцией от
А, в то время как при а <С-1 он имеет разрыв при h - О (см. рис. 5.3). Из
корреляционных неравенств гл. 4 следует, что 0 ^ dM/dh ^ const, d2M/dh2 ^
