Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 45

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 187 >> Следующая

Евклидова инвариантность (OS 2) при этом аналитическом продолжении, когда
t продолжается в физическую область, превращается в лоренц-инвариантность
квантового поля в пространстве Минковского. Физической областью значений
времени является чисто мнимая ось в принятых выше евклидовых
обозначениях. Таким образом, для вещественного t лоренц-инвариантность
получается с помощью подстановки ф(/)_>ф(-it).
Эргодичность эквивалентна единственности вакуума. Аксиома регулярности
чуть сильнее, чем это на самом деле нужно, однако в случае скалярных
бозонных полей позволяет охватить ряд интересных примеров. Аксиома
регулярности вводит ограничения на локальные особенности корреляционных
функций. Для случая полиномиального взаимодействия степени п мы можем
взять р = п/(п - 1) = я'.
Пусть <§ - L2(3)'(Rd), d\i). Пространство & есть замыкание множества
векторов (6.1.6) по норме скалярного произведения в L2(d[i)>). Это еще не
квантовомеханическое гильбертово пространство Ж. Оно больше напоминает
пространство квантовых траекторий. Из свойства положительности при
отражениях вытекает положительность скалярного произведения в
гильбертовом пространстве Ж, в котором действуют операторы квантового
поля в пространстве Минковского. Определение скалярного произведения
(6.18) в пространстве Ж с помощью обращения времени можно
*) Чтобы в этом убедиться, заметим, что цилиндрические функции из Z.2
плотны в пространстве 1.г(Ф', d(x), поэтому можно ограничиться
фиксированным конечномерным подпространством ЗЬ. Преобразование Фурье
(Fd\i) ~ функционала /7(ф), ортогонального всем функционалам вида
(6.1.6), тождественно равно нулю. Поэтому Fdfi ортогонально всем
непрерывным функциям с компактным носителем. Последние плотны в
пространстве Lz(d\) для любой меры Радона dv, следовательно, функционал F
как элемент Z,2 равен 0.
) 10 Гл. 6. Теория поля
истолковать как аналитическое продолжение эрмитова сопряжения (e~itH) * =
eitH в область вещественных значений времени t.
Формально можно так перевести введенные здесь понятия на язык, принятый в
гл. 3:
Я)' (Rd) = пространство траекторий,
йц = мера Фейнмана - Каца на пространстве траекторий, 2Ь' (Rd~') =
конфигурационное пространство,
>ф(х, •)= траектория со значениями с ??>' (Rd~l),
Ж = L2(SD' (Rd~[), dv) (шредингерово представление).
Здесь dv - мера, определенная основным состоянием гамильтониана Я; она
совпадает с ограничением меры d\i на подпространство обобщенных функций
q(x, 0)^S)'(Rd~1) (t - 0). Шредингерово представление (при d > 1)
построено лишь в частных случаях.
Мы не будем буквально следовать этим формальным соотношениям, а определим
пространство Ж непосредственно. Пусть с?+ - линейная оболочка в
пространстве S векторов А из множества st-+. Зададим на ё'+'Х<э +
билинейную форму b формулой
b (А, В) = (0Л, B)L = jj 0Л5 = (0Л, В)г (6.1.11)
В силу соотношения (6.1.8), форма b положительна. Назовем подпространство
c?+cz <§ подпространством будущего. Пусть - множество векторов из <?>+,
для которых скалярное произведение
(6.1.11) обращается в нуль. Теперь можно определить Ж как пополнение
множества классов эквивалентности lo+/JT в метрике, определенной формулой
(6.1.11)1).
Предложение 6.1.1. Пусть d\i - вероятностная мера на пространстве
SD'(Rd), для которой выполнена аксиома (OS3). Тогда множество Jf является
линейным пространством, а форма (6.1.11) задает на пространстве <$+/Jf
скалярное произведение, которое мы обозначим <•,•>".
Доказательство. Надо показать, что если А, В е 8+, а леЛ5, то Ь(Л+п, В) =
>=й(у4,В). Это следует из неравенства Шварца, которое справедливо для
неотрицательной билинейной формы Ь:
\Ь(А,В) I В I /eJBdnl < Ь (A,A)4ib(B,B)4t. |
Для того чтобы отличать векторы Лес?+ от соответствующих классов
эквивалентности А Jf ^Ж, обозначим через <%+-+Ж каноническое вложение А -
А -f- JT, где Ле^|. Используя вло-
') Заметим, что это определение пространства Ж согласуется с
теоретиковероятностным понятием условного среднего функции из 8 +
относительно 8- в Q8+. (То есть а-алгебры в 3)'(Rd), порожденной
подпространством 8_.- Ред.)
6.1 Аксиомы 111
жение мы можем по оператору S, действующему в пространстве <§+, построить
оператор S, который будет действовать уже в пространстве 36. Естественно
определить оператор S формулой
S.4 = (5Л)~. (6.1.12а)
Это определение можно пояснить диаграммой
& + ->- &+
- ^ J. (6.1.12Ь)
Ж -^Ж Одновременно с произведением
<Л, Я>*= <0Л, В)$ (6.1.12с)
определим билинейную форму
<Л, 55>Ж=<0Л, SB)Z. (6.1.12d)
Определения (6.1.12) имеют смысл только в том случае, если оператор S
задан на классах эквивалентности. Другими словами, требуется, чтобы
S: 2){S)[}&+-y&+ и S: ?> (S) [} JfJf, (6.1.13)
где &(S) - область определения оператора S (возможно, неограниченного).
Предложение 6.1.2. Пусть d\i - вероятностная мера на пространстве 2D',
обладающая свойствами положительности и инвариантности при отражениях.
Тогда отображение ~ является сжатием, т. е. ЦЛЦ"< ||Л||,.
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed