Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
0 при h ^ 0. Кроме того, dM/da\h=o ^ 0. Вогнутость М (d2M/dh2 ^ 0)
вытекает из следствия 4.3.4 и отражает насыщение
5.3 Нарушение симметрии 99
M(h) внешним полем h. Большие значения h приводят к кооперативному
явлению выравнивания значений спинов. Если спины принимают ограниченные
значения, как в случае модели Изинга, то M(h) стремится при h-*-oo к
асимптотическому значению, отвечающему полному выравниванию. Многое
известно также о поведении вблизи а = ос\ см. гл. 17.
Л
, Двухфазная область
вс= критическая точка
Рис. 5.2. Область фазовых переходов для взаимодействия ф4.
Структура фаз для модели Изинга качественно такая же, как и для
взаимодействия ср4. В физике твердого тела и физической химии изучается
большое число систем с различными типами ре-
M(h)
M(h)
(Ь)
Рис. 5.3. График функции M(h): (а) при о > 1, (Ь) при а ¦
шеток S' и спиновых пространств Xi (вида 2.1.2), со взаимодействием
ближайших соседей или же с дальнодействующими силами. Такие системы
используются как упрощенные модели реальных молекулярных и атомных
соединений. В общем случае уравнение состояния является кусочно-
аналитической функцией термодинамических переменных, таких, как h и о на
рис. 5.2. Фазовым переходам отвечают точки неаналитичности, а наличие
нескольких фаз связано с точками неоднозначности. Заметим, что в (5.3.5)
М = = d\nZ/dh, где Z - статистическая сумма. Для этой задачи М == M(h, о)
есть уравнение состояния. В случае когда появляется разрыв у параметра
порядка (как в указанном примере), фазовый переход называется переходом
первого рода.
100 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
5.4 Модель капли и оценка Пайерлса
Для модели Изинга при низких температурах можно без большого труда
провести анализ структуры фаз, как в § 5.1-5.2, на математическом уровне
строгости. Доказательства поучительны, поскольку в них выявлены типичные
конфигурации для двух (±) чистых фаз. Обсудим вначале модель капли, на
которую эти доказательства будут опираться.
В d-мерной модели Изинга конфигурации задаются функциями стг: Zd-yZ2,
приписывающими знак "+" или "-" каждому узлу решетки г е Zd. При низких
температурах имеется сильная тенденция к совпадению знаков в соседних
узлах. В соответствии с
+ + + + + + +
+ + - - + +
+ - - + - - +
+ + - + - + +
+ + - - + +'
+ -L + 4- + +
Рис. 5.4.
этим удобнее описывать конфигурации другим способом, эквивалентным
первому. Вместо того чтобы следить за областями
X± = {i^Zd: ее* = ± 1},
мы будем следить за множеством дХ = дХ+ - дХ_ граничных элементов,
разделяющих спины противоположных знаков. Точнее, рассмотрим ребро /, /'
(т. е. отрезок, соединяющий соседние узлы i, i', для которого (тгсг(./ =
- 1). Тогда дХ содержит элемент гиперповерхности двойственной решетки,
перпендикулярный этому ребру (рис. 5.4). Каждому множеству границ фаз дХ
отвечают ровно две конфигурации (переходящие одна в другую при изменении
знаков всех спинов).
При низких температурах описание конфигураций с помощью границ фаз
предпочтительнее. Действительно, число границ фаз невелико, и их вклад в
статистику типичных конфигураций можно рассматривать как малое возмущение
по отношению к случаю нулевой температуры, когда разрешены только две
конфигурации (о,- == 1 и стг = -1). В соответствии с этой картиной
типичные конфигурации при низких температурах представляют собой море
спинов одного знака (например, + ) и случайные изолированные острова
спинов противоположного знака. Типичные острова имеют небольшие размеры и
целиком заполнены спинами противополож-
5.4 Модель капли и оценка Пайерлса 101
ного знака, однако с меньшей вероятностью найдутся большие острова,
которые могут содержать подострова ("озера") спинов основного знака, и т.
д. Конфигурации, в которых доминирует знак "-", относятся к фазе "-".
Любая мера в бесконечном объеме, построенная как предел мер в конечных
объемах, должна быть смесью фаз "+" и "-", как в (5.1.1). Состав смеси,
т. е. параметр а в (5.1.1), зависит от подробностей предельного перехода
V'foo и особенно от граничных условий. При а = 0 или а = 1 смешанная фаза
становится чистой фазой. Случай d = 1 исключительный; при d = 1
дополнение к островам фаз несвязно, и, более того, при температурах Т > 0
(Р < оо) фазового перехода не происходит.
Переходя к количественным оценкам, напомним, что гамильтониан модели
Изинга Яд = - р Z определяет в любой ограни-
б. с.
ченной области Л меру
d^\==ZAe НХ .П^СГ?- ^)d(yp
2л=КНл П 6 0<- 0 d°r
i <= Л
Мера в бесконечном объеме d\i была построена в § 4.2. Записав Н как
функцию границы фаз 7 и ее площади |у| (или длины при d - 2), получаем,
что Н = Н(у) = 2$\у\. При этом мы вычли из гамильтониана Н констаиту
Нmin = min Н (сг) = - р? 1 ¦
о б. с
Так как эта константа содержится и в числителе, и в знаменателе выражения
для й(хл, ее вычитание не меняет ни меры d^A ни физического смысла Н.
Рассмотрим теперь другие конфигурации с границей фаз дХ. Пусть у
обозначает также событие (т. е. множество конфигураций) у с= дХ. Тогда
