Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 35

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 187 >> Следующая

Доказательство теоремы 4.5.1'. Мы будем использовать представление Z(h)
через удвоенный набор переменных g, /. Введем также переменные i, q и
соответствующие им полярные координаты р, 0:
= (?/ + */) = P/COS0/. '?/=y^(^-X/) = P/s!n0r (4-б-8)
План доказательства состоит в том, чтобы показать, что интеграл
! 2 (Л) I2 = J Д в-Гр' <^+Р' <*'>1 Ц, d3Ci, (4.5.9)
i <= Л
выраженный в полярных координатах, является интегралом от произведения
положительно определенных функций. Коэффициенты Фурье этих функций моно*
4.5 Теорема JIu - Янга 85
тонно зависят от Re Л ± Im Л. Вначале перепишем в полярных координатах
ехР [- Р1 (h) ~ Pi (*<)] d%i d^i = yi (Рf 9() dpi dei (4.5.10)
и покажем, что v((p, 0)-положительно определенная функция от 0. Так как П
vi (р;> (r)г) dPi d(r)i есть произведение положительно определенных мер, то в
сама эта мера является положительно определенной по переменным (01, 0,v).
Проверим теперь положительную определенность vi. Заметим, что d% == = р
dp dQ, поэтому
v i (р, 0) = р exp [- Pt (I) - PL (x)] =
= p exp [- at (l4 + X4) - b{ (I2 + x2)]. (4.5.1 )>
Замена переменных (4.5.8) ортогональна, следовательно,
1* + Х2 = (г + цг = р2> (4.5.12а)
I2 - X2 = 4 W + <7)2 ~ (< ~ <?)2] = 2*<7 = Р2 sin 20. (4.5.12b)
Таким образом,
V + X4 = т HI2 + х2)2 + (I2 - х2)2] = 4- Р4 d + si"2 20) =
= 4 Р413 - cos 401- (4.5.13)
(Р. 9) = Р ехр [- 4 агР4 - 6гР2] ехр [4" "гР4 cos 40]. (4.5.14)
Так как а,- > 0, a cos 40 есть положительно определенная функция, то из
предложения 4.5.3 следует, что функция V,- положительно определена.
В качестве второго шага доказательства перепишем выражение '-[^(6) +
Н(х)] в полярных координатах и проверим, что оно представляется в виде
суммы двух положительно определенных функций. Действительно,
\t\, + XiXj = ttt, + qfl, = РгР, cos (0t. - 0,),
поэтому сумма
? /// (Ы, + X,X,) = 42 Л/PiP/ V (0'_0/) + e~' (0'"6/)] (4-5.15)
i. I i. I
положительно определена. Кроме того, функция Ay!/ + hjXj = (Re A,) (g, +
X,) + I (Im h,) (l, - Xj) =
= V2 (Re hj')tj + i V2 (im hj) =
= pj (Re hj + Im hj) e!0/ + -j=r Pj (Re Л/ - Im e~iel (4.5.16)
положительно определена при 0 ^ Re Л,-± Im Л/, т. e. |1тЛ;| еЛ/. Так
как
[-//(g)-Н(%)] есть положительно определенная функция (4.5.15) плюс сумма
по / положительно определенных функций (4.5.16), то из предложения 4.5.3
следует, что
ехр [- Я (?) - Щ =
(X)]= ехр [5 hi + ХгХ/У| ехр (А/1/ + /г;-Х/У|
*сть произведение двух положительно определенных функций. Более того, в
силу (4.5.16), JZ(/i)]2, заданное выражением (4.5.9), является монотонной
функцией
86 Г л. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга
от Re Л/+ lm Л/ и Reft;-1т Л;. Отсюда следует неравенство (4.5.5), так
как О < Re hj - j Im hj | = min (Re hj ± Im h.y |
4.6 Аналитичность свободной энергии
В этом параграфе доказывается результат об аналитичности свободной
энергии в бесконечном объеме для решеточных моделей теории поля в случае,
когда применима теорема Ли - Янга. Рассматривается также кластерное
свойство парной корреляционной функции для таких моделей и для
соответствующих им изинговых пределов.
Пусть Z\ есть статистическая сумма в объеме Л. Свободная энергия в объеме
Л определяется равенством
/Л =(1/|Л|) lnZA. (4.6.1)
Теорема Ли - Янга, доказанная в предыдущем параграфе для .^-моделей,
утверждает аналитичность при Rehj^O. Ниже
изучаются пределы таких моделей, во-первых, при Л->оо и, во-вторых, при
таком изменении распределения отдельного спина, чтобы в пределе возникала
непрерывная теория или модель Изинга.
Заметим вначале, что сходимость /л при Л->оо следует из так называемых
неравенств обусловленности, которые будут установлены в гл. 10. Для малых
|3 сходимость может быть также получена с помощью методов разложения в
ряд, развитых в гл. 2. Мы не будем сейчас доказывать сходимость, а только
сформулируем частный случай предложения 10.3.3 для решеточных моделей.
Предложение 4.6.1. Пусть ZA есть статистическая сумма решеточного поля с
трансляционно-инвариантным парным ферромагнитным взаимодействием
ближайших соседей
б. С. I
и распределением отдельного спина d^d*) = е~р d^h и пусть выполнено
условие (4.1.4). Тогда при Afoo существует предел
(4.6.2)
Теорема 4.6.2. Пусть выполнены условия предложения 4.6.1. Если •для Z
л(Л) справедлива оценка Ли - Янга (4.5.5), то f(h) анали-тична при | Im
hj | < Re hf.
Замечание 1. С целью избежать технических сложностей, связанных с
рассмотрением функций бесконечного числа комплексных переменных hj,
положим h, = h и докажем аналитичность /(/г) при | Im h\< Re h.
Фактически, используя отражение и теорему Ли - Янга 4.5.1 (а не теорему
4.5.1', доказанную в предыдущем
4.6 Аналитичность свободной энергии 87
параграфе), можно показать, что Re/z=^=0 есть область аналитичности.
Доказательство. Рассмотрим функцию
eA(J) = ZA(4)1,1A| = /# (4.6.3)
Тогда
gA (Re h - | Im h I) < | gA (A) | < gA (Re A). (4.6.4)
Оценка сверху получается, если взять абсолютную величину в
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed