Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 37

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 187 >> Следующая

^ ^ о. (4.7.8)
Докааательство. В переменных t, q
( V/ + W/) - Z (Al'< + hhi)< (4.7.9)
i. / '
P (I,) = Л, (*? + ??)2 + O + $ = A, (t* + q*i + 2i]qf) + <7 0? +
<??). (4.7.10)
Неравенство (4.7.5) доказывается, как и неравенства Гриффитса, с
помощью-
рааложения е~И в степенной ряд. Для доказательства (4.7.6--8) введем
переменные %i, дополнительные к %i, или, другими словами, переменные tit
qi, дополнительные к ti, qi. Определим at, Р/, yt, 61 формулами (4.3.2).
Тогда, как и для (4.3.5), гамильтониан
я (I) + я (60 = - ? /" ("/"/ + • • • + 6,6;) - 21'2 X (Ala, + Ajv,)
90 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
является ферромагнитным по переменным а, (5, y> 6- Используя (4.7.10),
получаем, что
Р(|) +Р(!') = четный полином -4^а(5у6,
т. е. имеет вид четного полинома с ферромагнитной добавкой. Далее
доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 4.3.1 и
следствия 4.3.2.
Частным случаем доказанных неравенств являются следующие два неравенства.
Следствие 4.7.2. Для системы (4.7.1-3)
(4'7Л')
",• !/>-"!> •"/"<>. (4.7.12)
Литературные ссылки
[Ruelle, 1969].
Глава 5
Фазовые переходы и критические точки
5.1. Чистые и смешанные фазы
Статистическое поведение семейства случайных величин описанное в гл. 2,
следует из условия слабой зависимости: величина должна быть почти
независима от остальных |/, за исключением конечного числа. Это свойство
выполняется для короткодействующих устойчивых взаимодействий,
рассмотренных в гл. 2. Обсудим теперь другие различия между слабыми и
сильными взаимодействиями. Слабое взаимодействие означает, что любая
величина ?< почти независима от всех / Ф i, в то время как для систем с
сильным взаимодействием имеется существенная зависимость \i от конечного
числа ?/, j ф Случай слабого взаимодействия изучается с помощью
кластерных разложений наподобие рассмотренных в гл. 2 и может
рассматриваться как возмущение невзаимодействующей модели, т. е. модели,
в которой мера равна бесконечному произведению мер.
Модель Изинга и решеточные модели теории поля, введенные в гл. 2,
описывают кооперативные явления. Каждая из случайных величин влияет на
соседние так, чтобы уравнять их:
- ?"'+ev)2 ^ 0. Если это влияние достаточно сильное (случай низких
температур или больших |5 в (2.3.5)), то общая тенденция к выравниванию
может привести к совпадению всех \i. Предположим далее, что |;=±1 и оба
значения равновероятны (как
5.1 Чистые и смешанные фазы 91'
в (2.3.2), (2.3.5)). В этом случае картина подавляющего совпадения
спиновых переменных: та I при всех i или та -1 при всех
i - не является единственно возможной и предельная мера зависит от
характера предельного перехода Af/?d
йц = аф+ + (1-а)^ц~, O^a^l, (5.1.1)
что и означает существование фазового перехода. Здесь меры d^ являются
чистыми фазами в том смысле, что для множества конфигураций, имеющего
полную меру относительно dji+(d[4~), та та + 1(-1) при почти всех i, или,
иначе говоря,
&>.,-$ ?,**+> О, (5.1.2)
и аналогично <?<>- < 0. С математической точки зрения соотношение (5.1.1)
означает, что мера d\к разложена на эргодические компоненты d\г+ и d\г-.
Чистые фазы d\j- являются крайними точками некоторого выпуклого множества
мер и в определенном смысле неразложимы. (Разложение на чистые фазы
изучается в гл. 18.)
С понятием чистых фаз связаны следующие два вопроса. Более простой
вопрос, обсуждаемый в этом параграфе: является ли мера, определенная для
системы в бесконечном объеме, чистой или смешанной фазой, т. е. можно ли
эту меру разложить, как в (5.1.1)? Другой вопрос, тесно связанный с
первым, касается того, происходит или нет при заданном множестве
значений параметров (т. е.
Р, Р в (2.3.1-5)) фазовый переход (см. § 5.2 и 16.1).
Мы приведем три критерия, характеризующие чистые фазы. Первый критерий
состоит в том, что чистая фаза d\i эргодична-относительно группы
трансляций решетки. Второй критерий состоит в том, что функция 1 является
единственной собственной функцией трансфер-матрицы с собственным
значением 1. Трансфер-матрица строится в гл. 6, а эквивалентность двух
критериев (для непрерывных полей) доказана в § 19.7.
Во многих случаях эффективен более простой критерий. Этот критерий связан
с исследованием поведения парной корреляционной функции
Шт ^ S Ui - $ Ми $ I, dp = (Ш - <!,) &,) =
= <&-&"(&/-<!/">. (5.1.3)
Физический смысл (5.1.3) становится понятным в терминах отклонений б
переменных g от их средних значений: б,- з=з ?г - <?,). В них парная
корреляционная функция имеет вид
<Ы}У = <б/6/> (5.1.4)
и характеризует совместное распределение флуктуаций в узлах i и /.
Рассмотрим в качестве примера меру (5.1.1). Для чистых фаз
¦92 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки diir1 имеем
О < ± (|/)± = ± ^ ?,1 d(г* = ± М± = М и lim (Ш±-<?|>± <?/>*) = о.
Следовательно, <|;> =-М( 1-2а) и
lim (Ш = аМ2, + (1 - а) М2_ = М2,
поэтому
Нт <?&>*¦ = 4а (1 - а) Af*. (6.1.5)
I t - l |->0О
Таким образом, (5.1.5) принимает максимальное значение при а= 1/2 и
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed