Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
основано на методах теории возмущений, аналогичных используемым в § 9.4 и
14.3. Полином бР мал в том смысле, что малы его коэффициенты; его влияние
существенно только вблизи % - 0.
Описанная выше картина основана на более сильных утверждениях, чем это
доказано в настоящее время. Тем не менее в типичных частных случаях
подобные результаты доказаны строго. Весьма вероятно, что такого рода
методами могут быть обоснованы многие линеаризации в статистической
физике. Доказательство соответствующих теорем сводится, по существу, к
проверке того, что малые вероятности больших отклонений от значений
среднего поля подавляют статистические факторы (энтропию).
Это завершает обсуждение случая, когда квазиклассическое приближение дает
правильную качественную картину, а именно случая, когда у Р имеются
большие потенциальные барьеры. При этом у Р имеются глубокие колодцы с
хорошо отделенными друг от друга минимумами, так что е~р аппроксимируется
произведением гауссовых множителей. В этой ситуации полином Р + 6Р при
5.2 Приближение среднего поля 95
малом бР дает правильную структуру фаз, определяемых минимумами Р. Если
же различные минимумы не разделены достаточно высокими барьерами или
члены более высоких порядков в (5.2.7) велики, то (5.2.9-10) дает плохое
приближение, которое может привести к совершенно неверной картине.
Критическая точка есть, по определению, граничная точка области фазовых
переходов. В рассмотренной выше классической
Р( О
Две фазы
PU)
Критическая
ситуация
Р(0
Одна фаза, некритическая ситуация
Рис. 5.1.
картине этот случай возникает из-за слияния двух минимумов, как на рис.
5.1, так что вместо (5.2.7) справедливо разложение
Р(c) = /,(Г) + т^1У)(Г)хЧ
(5.2.12)
Поскольку Р"(?с)= 0 и различные минимумы не только не разделены, но и
сливаются в один, классическое описание критической точки не является
точным, хотя его и можно использовать в качестве грубого ориентира. Для
классической критической точки квазиклассическая мера (5.2.10) является
гауссовой с ковариацией
<&?/>кв. кл = ядро (-Д)-> (г, /) ~ I i - /1 -*+¦*. (5.2.13)
Дальнодействующие (степенные) корреляции вида (5.2.13) типичны для
критических теорий, хотя показатель (-d + 2) может быть заменен другим. В
действительности этот показатель зависит от опущенных членов в (5.2.12).
(При d = 2 асимптотическое поведение функции (5.2.13) имеет вид -
(1/2л)1п[г - /|.)
Корреляционные неравенства дают оценки сверху для поправок к (5.2.13).
Например, в критической точке для теории поля при
\х- г/1 -оо
<ф(л')ф(г/)> < 0(\x - y\-d+2~^), (5.2.14)
где Ti называется аномальной размерностью. Аналогично для с?-Мерной
модели Изинга при критической температуре
(5.2.15)
96 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
При d= 1 имеем т} = 11). Если d - 2, то г| == J /4. При d - 3
приближенные вычисления дают значение т) = 0,041.
При d = 1, 2 и, возможно, при d - 3 критические точки не являются
гауссовыми. Так как (5.2.13) определяет неверную асимптотику на больших
расстояниях, то члены старших порядков в (5.2.12) играют не менее важную
роль, чем квазиклассический член -j (V?)2 + Яка. кл (?) = т (V?2) +
const. Поэтому в критическом случае квазиклассическая теория не может
служить отправной точкой теории возмущений. Для изучения критической
точки физики применяют различные методы. Хотя большинство этих методов (в
том числе метод ренормгруппы) не имеет достаточного математического
обоснования, они с успехом применяются для определения приближенных
численных значений критических индексов (например, т]). Введение в теорию
критических явлений можно найти в книге [Stanley, 1971]. Двумерная модель
Изинга и некоторые другие двумерные модели решаются в явном виде. В этих
случаях критическое поведение исследовано во всех деталях, а критические
индексы определены точно; см. [McCoy, Тгасу, Wu, 1977], [McCoy, Wu,
1973]. Для так называемой иерархической модели [Dyson, 1969а] имеется
математическая теория критических явлений [Блехер, Синай, 1973, 1975];
[Collet, Eckmann, 1978], хотя эта модель и не является точно решаемой.
б.З Нарушение симметрии
Фазовые переходы и нарушение симметрии - это явления различной природы,
но они так часто происходят одновременно, что имеет смысл рассматривать
особые структуры, возникающие в результате их комбинации.
Мы видели, что в квантовой механике гамильтониан вида Н = -А + U (q)
всегда имеет единственное основное состояние Q, и, следовательно, ?2
инвариантно относительно любой группы симметрий гамильтониана Я. Точно
так же в системах статистической механики с конечным числом степеней
свободы мера djiA вида (2.3.4) инвариантна относительно любой симметрии,
сохраняющей d\x (h) и S (Ег - li'f-
С другой стороны, для систем с бесконечным числом степеней свободы (как в
рассматриваемом здесь случае статистических систем, так и в случае
квантовых полей, изучаемых в дальнейшем) мера d\i может не обладать
симметрией порождающего ее действия. В этом случае мы будем говорить о
