Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(4.3.6) в виде
^ aftpVaVapYV Q da dp dy d& > 0.
Здесь с-положительная константа, а Q - четная функция от a, р, Y н б.
Разложим еса$у6 в степенной ряд. После этого, очевидно, достаточно
доказать, что
^ ak$l\m6ne~ Q da d$ dydb^s 0 (4.3.7)
для всех k. I, m, n. Ho Q - четная функция, поэтому (4.3.7)
обращается в нуль,
если хотя бы одно из чисел k, I, m, п нечетно. |
Замечание. Хотя неравенство (4.3.3) обобщается на случай поли-
п
номов P(x)=Yj с/*2/ + ох2, где все с, ^ 0, только |4-полиномы /=2
(4.3.1) (при переходе к непрерывному полю в Rd) допускают
перенормировки в размерностях d ^ 2.
Следствие 4.3.3. Пусть hi = 0 и |Л|, |В| четны. Тогда
0 < (lAlB) - (lA) (lB) < Z <№¦>,
где суммирование проводится по всем разбиениям Л=(ЛЬ А2),
В - (В 1, В2), для которых \Ai |, |Bi| нечетны.
Доказательство. Первое неравенство следует из теоремы 4.1.3. Для
доказатель-
ства второго воспользуемся третьим неравенством из следствия 4.3.2:
2UA\+\B\)p/tAqB\ ? (-1)1Вг*(|Л1ХЛ'|В'ХВ2) =
А-(Аи Аг)
В=(В,, ВЦ
a ? (- I)1 Вг 1 (?Л,?В') (бЛг5В2) < 2( IА 1+1 в 1 )/2 (tA) {qB) =
- Z :о1 Вг 1 (bAl) {ЪАг) {lBl)
Мы утверждаем, что, выбросив из этой суммы члены, соответствующие
нетривиальным разбиениям с четным |Вг|, мы не нарушим неравенство.
Действительно, положим
<^В>Г = Шв> - <1АХ1В>.
По теореме 4.1.3 <¦.. >Г 0. Следовательно,
(lA'lB') - (lAl) kBl) (lAl) (ЬВ2) =
= k\B')T (lAllBl)T + (lA') (lB') (l\B? + (l\Bf (lAi) kB') > 0,
что доказывает наше утверждение. Члены в правой части, соответствующие
нечетным |5г|, равны нулю. В самом деле, (?В:) = 0, так как среднее
инвариантно относительно преобразования -?. По той же причине равны нулю
те члены в левой части, для которых |В2| нечетно, а |Лг| четно. Остальные
члены и при* водят к доказываемому неравенству. |
4.3 %*-неравенства 81
Следствие 4.3.4. Пусть hi ^ 0 для всех [ и выполнены условия теоремы.
Тогда
<?<"0, <?iS,> -<S/XS/>SsO и (iihik) - (h) ш - (h) (Ш - &> Ш + 2 (h) (i,)
(и) < о.
Доказательство. Последнее неравенство вытекает из следствия 4.3.2:
23/2 <**/?*> = 2 ((hlih) - (hit) (h) - <6/6*) <&/} + <Е*> (ъ,и)) <
< 23/2 (*t) {"ilk) = 2 (2 <Е<> (\,и) - 2 <Е<> (I,) <s*".
При hi ;ss 0 имеем <?/> ^ 0, так как <|/> = 0 в случае, когда hi = 0 при
всех I, и d(,l,)/dhi = <gf|/>- <i(><i/> ^0 по теореме 4.3.1. |
Замечание. Легко видеть, что <?;> = <5 In Z/dhi, и вообще усеченные
корреляционные функции (иначе называемые функциями Урселла или связными
л-точечными функциями):
/v) = <3VInZldhi{ ... d/iiv,
при v=l, 2, 3 в точности являются комбинациями корреляционных функций,
рассмотренных в предыдущем следствии. Если все hi - 0 и v нечетно, то
U(i\, ..., iv) - 0 в силу симметрии относительно преобразования ?-*-g.
Если v четно и все hi -0, то U(h, 1г)^0 (теорема 4.1.3), U(ii, г2, г3,
г4) ^ 0 (частный случай следствия 4.3.3). Справедливо также неравенство
U(ii, ..., 4)^0 [Cartier, 1974; Percus, 1975; Sylvester, 1975].
Существует гипотеза, что для любого четного v
(_1 )v/*U(iu .... iv)^0.
Следствие 4.3.5. Пусть hi ^ 0 для всех i. Тогда
[п/21
• • • ?<") ^ X (^1^2) • • • (^"2/-1^2/)(^2/ + l) • • • (^п)'
где внутреннее суммирование проводится по всевозможным наборам j пар из п
индексов {/,, , in}.
Доказательство. Воспользуемся следствием 4.3.2:
2<n+2)/2 ... tnqn+lqn+2) = 2 (-1)' 1 (g V!?BlXB!) =
{1, п)-Л,иЛ2 {п+1, n+2)=BlUB2
= z (-1)1 Вг 1 <6 V1) V2> < Z (-1)1 Вг 1 (|л') <ел'> <ев') <6В')
Отбрасывая (как и в доказательстве следствия 4.3.3) отрицательные члены в
правой части (нечетные |Вг|) и все члены, соответствующие четным |Вг| и
нетривиальным разбиениям А = Ai\jAz, получаем, что
<6l • • • Е"+2> <(?!••• <6n+lE"+2> + Z (ЕЛ,Е"+1> {lAlln+i).
A-Ai U Аг
Из этого неравенства следствие 4.3.5 получается индукцией по п. |
82 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга
4.4 Неравенство ФКЖ
Неравенство ФКЖ1) формулируется так же, как второе неравенство Гриффитса.
При этом, однако, налагаются другие условия и на вид взаимодействия, и на
допустимый класс наблюдаемых. Определим отношение порядка в Rn следующим
соотношением: I = (ьь X = (Хь •••> для всех i. (4.4.1)
Функция F(I) называется монотонной, если она монотонна относительно этого
порядка.
Теорема 4.4.1. Пусть F и G - монотонно возрастающие функции от I, а
среднее <¦> определяется выражениями (2.3.1) и (2.3.4). Тогда
(FXG} "S (FG}. (4.4.2)
Замечание. Это неравенство сохранится, если к квадратичной форме в
(2.3.4), определяющей гауссову часть меры, добавить любое число граничных
членов вида а;(?/- у,)2, сс/^О, так как эти члены могут быть включены в
полиномы Р/. При этом полином Р/ не обязательно должен иметь вид: четный
+ линейный.
Доказательство. Переходя к двойному набору переменных | и %, необходимо
показать, что
<[F(E) - F(x)][G(g) - G(x)]> > 0. (4.4.3)
Пусть п- |Л j-число точек в Л. При п= 1 утверждение справедливо, так как
разности F (?,) -^(х) и О(Е) -0(х) имеют одинаковый знак в силу
монотонности функций F и G. Предположим теперь по индукции, что теорема
