Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
определении Z А,
а оценка снизу вытекает из теоремы 4.5.1'. По предложению 4.6.1
gA(h)->g(h)
при вещественных Л; таким образом, из оценки (4.6.4) следует, что gA (h)
равномерно ограничено по Л в любом компактном подмножестве К области
]1тЛ| < Re h. Кроме того, g^(h) аналитична по h при h е К, так как, по
теореме 4.5.1', ZA(h.) ф 0 при h е К. В силу предложения 4.6.1, fA(h)
сходится при вещественных h. Выберем компактное множество К
пересекающимся с вещественной осью h. Тогда на пересечении gА (Л) -> g
(Л). По теореме Витали получаем, что gA (h) -> g (h) для всех h из
области |1т/г| < Re h, причем функция g(h) аналитична в этой области и
равномерно ограничена на любом компактном подмножестве К. Из (4.6.4)
следует, что для любого h е К
|?(Л)1= lim |?Л(Л)|> lim gA (Re h - 11m h |) = exp [/ (Re h - 11m h |)].
(4.6.5)
oo Л-f- oo
Следовательно, |?(Л)|=И=0 при |ImA|<ReA. Поэтому \r\g(h) существует и
является аналитической функцией от h. |
Замечание 2. Подобные рассуждения можно использовать и в случае, когда
распределения отдельного спина имеют вид
"рь<у dl
'*М>(1) = 'Г~-рТ"| М1) = М|!-1)г. (4.6-6)
Г
В пределе при Я->оо получается модель Изинга [J. Rosen, 1977], и для Л <
оо при К -> оо имеем Za (Я, /г)-> ZлИзннг(/1) • При вещественных h
сходимость вытекает из теоремы Лебега о мажорированной сходимости. Таким
образом, для модели Изинга справедлива, оценка Ли - Янга, и поэтому
функция fH3ИНГ (h) аналитична при \lmh\< Reh.
Замечание 3. Аналогичные соображения применимы, когда существует
непрерывный предел решеточной теории, например при надлежащем выборе J,
а, b как функций параметра решетки е. Известно, что при размерности
пространства-времени d- 1, 2, 3 предел при е-"-0 (непрерывный предел
теории поля) существует. В части II мы докажем существование этого
предела при d - 2. Таким образом, мы заключаем, что свободная энергия
f(h) для модели ф4 квантовой теории поля аналитична в области |Im/z|<
< Re h.
Замечание 4. Теорема Ли - Янга справедлива также для систем с Двух- или
трехкомпонентными спинами, инвариантными относи-
158 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли- Янга
тельно группы вращений 0(2) или 0(3) соответственно. Другими словами, во
взаимодействии ?,•?,¦ заменяется на ?г?/> а на (I2)2, где | есть двух-
или трехкомпонентный вектор [Dunlop, Newman, 1975]. Верна ли теорема Ли -
Янга для спинов с числом компонент 4 и более, неизвестно.
Замечание 5. Теорема Ли - Янга и приведенное здесь доказательство
обобщаются на случай Z2-peiueT04Hbix калибровочных теорий ; [Dunlop,
1980] (см. § 20.9). Верна ли теорема Ли - Янга для других калибровочных
групп, неизвестно.
Рис. 4.1. Линии фазовых переходов для взаимодействия Р{|) = ?*(?*-1)* +
"ли для модели Изинга со спином I (распределение отдельного спина dji; =
*= (1/2 - а) (б_1 + 6i) + 2або). См. также § 20.5.
Замечание 6. В общем случае четного полинома Р(?) степени 6 и выше нет
оснований ожидать аналитичности при Re h Ф 0. То же самое относится к
модели Изинга "со спином 1", для которой
(g) = (т - а) б_, (?) + 2аб (g) + (-±- - а) 6, (g), 0 < а < 1/2. Та-
кая мера dyad) может быть получена как предел мер, определяемых
последовательностью полиномов степени 6. В случае приведенной выше меры
d\n или в случае Р - ?2(?2- 1)2+ cs|2 получается фазовая диаграмма,
показанная на рис. 4.1. Из того, что при /г=И=0 имеются линии фазовых
переходов, вытекает, что для некоторых полиномов 6-й степени теорема Ли -
Янга неверна.
Не существует критерия, позволяющего для полиномов Р общего вида
(например, с положительными коэффициентами) сказать, верна ли для них
теорема Ли - Янга. Аналитичность в этом случае исследуется только с
помощью методов разложения в ряд. Приближение среднего поля, являющееся
главным членом такого разложения, дает качественную картину фазовых
диаграмм, подобных представленной на рис. 4.1. Приближение среднего поля
будет подробно обсуждаться в следующей главе.
Тройна
Линии фазовых переходов при Ь#0
4.7 Двухкомпонентные спины 89
4.7 Двухкомпонентные спины
Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга обобщаются на случай
векторнозначных спинов. Мы приведем простейшие результаты, относящиеся к
системе с двухкомпонентными спинами
i,=(S|, ??)• Пусть ?"¦??• Рассмотрим систему с га-
' а=1 1
мильтонианом
Я = - ZluUi- Sh,-6" (4.7.1)
if / i
где hai. В случае h, = 0 взаимодействие (4.7.1) инвари-
антно относительно одновременного SO (2)-поворота всех спиновых векторов
В качестве распределения отдельного спина выберем
50(2)-инвариантную меру
dpt(lt) = e-ptMdl\d%, (4.7.2)
где
P,(g,) = A,(?,-l,)2+cr, (?,•?,), Яг>0 или Яг = 0, сг, > 0. (4.7.3)
Предельным случаем является модель ротаторов с мерой
Введем переменные
/,"=61, (4.7.4)
и, как и раньше, t = Ц /, и т. д.
i е Л
Теорема 4.7.1. Для системы с гамильтонианом вида (4.7.1) и распределением
отдельного спина (4.7.2-3) верны неравенства:
(tAqB)> 0, (4.7.5)
(tAtB)-(tA)(tB)^ 0, (4.7.6)
<^>-<<7лХ<7в>> 0. (4.7.7)
