Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
открытым вопрос о том, когда существует In К, или, другими словами, когда
нуль не является собственным значением оператора К.
Теперь мы снова обратимся к непрерывному случаю и продемонстрируем
применение аксиомы регулярности OS 1 при построении евклидова поля ф(/).
Предложение 6.1.4. Пусть йц - вероятностная мера на пространстве Ф',
удовлетворяющая аксиоме OS 0. Тогда у этой меры есть моменты любого
порядка, причем п-й момент обладает ядром Sn(xи ..., хп)<=2)'(Rnd), т. е.
П
^ Ф(А) • • • 4>(fn) d\i = jj Sn{x i, ..., xn) Д fi(xi)dx. (6.1.15)
1=1
Если к тому же имеет место аксиома OS 1, то Sn е Lioe(Rnd).
114 Гл. 6. Теория поля
Замечание. Ядро S,, называется функцией Швингера.
Доказательство. Операторы U(t) = eit!t^\ / е ^Вещ, образуют унитарную
группу, действующую в пространстве &. Ее инфинитезимальным генератором
является оператор умножения cp (t). Утверждение о том, что функция 1
принадлежит области определения всех операторов ф(/)л, эквивалентно
существованию у меры dji моментов порядка 2п. (Моменты нечетного порядка
при помощи неравенства Шварца оцениваются четными моментами.) Для того
чтобы показать, что 1 принадлежит области определения оператора ф(f)n,
воспользуемся определением п-то разностного отношения (&/At)nU(t)
оператора U(t). Имеем
Отсюда видно, что, в силу аналитичности (а значит, и дифференцируемости)
функции S, п-е разностное отношение имеет сильный предел. Пусть /
принадлежит ограниченному конечномерному подмножеству пространства 35. В
силу непрерывности, модуль |S{f}| ограничен на этом подмножестве.
Следовательно, можно применить интегральную формулу Коши
где g - Zjfj, а интегрирование ведется по окружностям |z/| = 1. Это дает
оценку функции S", необходимую для доказательства ее непрерывности па
произведении SD X • • • X SD. Непрерывное продолжение Sn на все
пространство 2D'(Rnd) получается при помощи теоремы о ядре.
В случае когда справедлива аксиома OS1, функция Sn продолжается по
непрерывности до мультилинейного функционала на (Li П Lp) X • ¦ • X (Li Л
Lp). Это означает, в частности, что Sn локально интегрируема как функция
rid переменных. |
(п) Аксиомы поля в пространстве Минковского
При аналитическом продолжении по переменной времени,
-it, операторы поля для вещественного времени и представление группы
Лоренца могут быть определены в пространстве Ж так, чтобы выполнялись
аксиомы Вайтмана и Хаага - Кастлера. Математическое доказательство этих
утверждений слишком технично, поэтому мы отложим его до гл. 19, а здесь
только сформулируем результаты.
Пусть ср = ф?(х, t) - евклидово поле, рассматриваемое, как и выше, в
вещественной евклидовой точке х, t. Аксиомы Вайтмана и Хаага - Кастлера
относятся к его аналитическому продолжению на вещественное пространство
Минковского, т. е. на чисто мнимое евклидово время. Чтобы различать поля
с разными значениями аргументов, будем писать
ф?(х, t) = фм {it, х).
Если же из контекста ясно, о каком поле идет речь, то ф может обозначать
как q>e, так и фм. Пусть х = (/, х) - вектор простран-
П
п
/=1
6.1 Аксиомы 115
ства-времени Минковского; оператор поля фм, отвечающий вещественному
времени, формально запишем в виде
jj УмМ f(x)dx = cpM(f). (6.1.16)
Оказывается, что (в смысле операторнозначных обобщенных функций)
Фм (х, /) = elt/fcpM (х, 0)е~гя.
Как следует из аксиом OS 1-3, оператор поля фм(/) самосопряжен при
вещественных f. (Этого не требуется в аксиомах Вайт-мана, но это свойство
означает, что фм(0 есть наблюдаемая величина в смысле постулатов
квантовой механики.) Эта величина измеряет напряженность поля фм,
усредненную с помощью основной функции f по точкам пространства-времени.
Перейдем к формулировке аксиом.
W1 (Ковар иантность). В гильбертовом пространстве Ж состояний квантового
поля существует непрерывное унитарное представление неоднородной группы
Лоренца g-^U(g). Спектр генераторов (Я = Р0, Р) подгруппы сдвигов лежит в
переднем конусе р2 - р2^0, р0^0. Существует вакуумный вектор Q-^Ж,
инвариантный относительно операторов U (g).
W2 (Наблюдаемые). Существует семейство операторов поля {фм(/): f ^
9(Rd)}, определенных на всюду плотном множестве в пространстве Ж.
Вакуумный вектор Q принадлежит области определения любого многочлена от
операторов поля фм([), а линейная оболочка 2) векторов вида {ф,и(М ...
фм(М^: О ^ п, fi е 9*(^d)} плотна в пространстве Ж. Поле фм(/)
ковариантно под действием группы Лоренца на 1 и линейно зависит от f. В
частности, U(g) *фм (f) U(g) = ф,и (fs) ¦
W3 (Локальность). Если носители основных функций f и h про-странственно-
подобио отделены, то фм(/)фм(/г) = фм(/г)фм(/) на 2). (Вектор (t, х)
пространственно-подобен, если |/|<|х|.)
W4. Вакуумный вектор ?2 - единственный (с точностью до числового
множителя) вектор в пространстве Ж, инвариантный относительно группы
сдвигов по времени.
Обращение к теореме Шварца о ядре показывает, что операторы поля
однозначно определяют моменты (n-точечные функции Вайтмана)
