Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
модель Изинга или какая-либо другая модель статистической физики,
рассматриваемая в своей критической точке.
При подходе к квантовым полям как моделям статистической физики евклидово
свободное поле известно как гауссова модель. Она описывает критическое
поведение на больших расстояниях в случае канонической критической точки.
Мы начнем анализ свободного поля с применения к гауссовой мере d\x на
пространстве 9"(Rd) теоремы реконструкции. Пусть С-непрерывная
невырожденная билинейная форма на произведении пространств 9 (Яа)УС, 9
(Rd). Символически запишем ее в виде
C(f,g)^(f,Cg}. (6.2.1)
На пространстве 9>'(Rd) существует единственная гауссова мера t/фс с
ковариацией (т. е. двухточечной функцией) С и нулевым средним.
Характеристический функционал меры dcpc равен
S{f} =е -<f- с0/2 = J >dtpc. (6.2.2)
Пользуясь равенством (6.2.2), можно вычислить моменты меры
Лрс, а именно
J ф (/)" d(fc = (- idjdX)n S {Я/} |Л_0 =
JO, п нечетно,
= 1. (п - 1)!!С(/, f)nl2, п четно, (6.2.3)
где п\\ - п(п- 2) (п- 4) ... 1. Заметим, что для любого
конеч-
ного числа координат в У1, скажем 9/ = ф(//), где /,- е У, j -
- 1, 2, ..., п, их значения распределены относительно dq>c по формуле
?,-сГ/Ч "
dq>r - (det С)1/2 (2я)~4/2 е *• / П dqt, (6.2.4)
и I-1
где С - матрица Сц= С (ft, f/)~(ft, Cf/), а С-1 обозначает обрат-
ную матрицу.
Очевидно, что мера dфс и функционал S инвариантны относительно сдвигов по
времени, отражений или других евклидовых движений в том и только в том
случае, если всеми этими свойствами обладает ковариация С. Как мы сейчас
увидим, это же относится и к свойству положительности при отражениях.
6.2 Свободное поле 119
Определение 6.2.1. Билинейная форма С на произведении пространств 9*(Rd)\
9*(Rd) обладает свойством положительности при отражениях, если для любой
функции \^9>{Rd), носитель которой лежит в области будущего, верно
неравенство <0/, С/) ^ 0.
Теорема 6.2.2. Гауссова мера dcpc обладает свойством положительности при
отражениях тогда и только тогда, когда им обладает ковариация С.
Доказательство. Предположим, что С обладает этим свойством, и положим
где supp ft cr {х. t > 0}. Тогда матрица Mi/ имеет положительные
собственные значения (т. е. эта матрица положительна) в том и только в
том случае, если Nij = ехр<0/г, Cfj) - положительная матрица. По
предположению Rt, = <0/;, С/,)-
R *
положительная матрица, а отсюда следует и положительность Ыц = е lL В
самом деле, если At,-, Вц- две произвольные положительные матрицы, то
матрица Dij ss AijBij тоже положительна, а это означает, что положительна
JV// = = ^ (1/г!) {RijY- Для доказательства положительности матрицы D
рассмотрим тензорное произведение матриц А(r) В с элементами АцВы- Заметим,
что оно положительно. Следовательно, оно останется положительным и при
ограничении на подпространство векторов а с компонентами ац = 0 при всех
/, I, кроме j = I. Но на этом подпространстве А (r) В = D. g
Обратное утверждение верно также и для негауссовых мер, поэтому мы
сформулируем его в виде отдельной теоремы.
Теорема 6.2.3. Пусть d[i - мера на пространстве 9"(Rd) с
характеристическим функционалом 5{/}. Предположим, что S{/} является
целой аналитической функцией комплексной переменной f из пространства
комплексных основных функций 91. Если мера d\a обладает свойством
положительности при отражениях, то им обладает двухточечная
корреляционная функция этой меры.
Доказательство. Определим Мц, как выше, функцию Ь возьмем вещественной,
fi = Xf, а /г = 0. Пусть также ai = Х~1, аг = -X-1. Тогда
Приведенная ниже спектральная формула Лемана (6.2.7) дает представление
для двухточечной функции в лоренц-инвариантной теории поля. Этот
результат тоже верен и для негауссовых полей, но в гауссовом случае он
дает полную классификацию мер dcр, которые соответствуют лоренц-
инвариантным теориям. Положим
М" = S{f, - 0f/} = S{fi}S{f/}exp<0f,, Cf,\
2
i. /-1
(6.2.5)
(6.2.6)
d-1
где лоренцева метрика равна р ¦ х = 2 ptXi - р0х0.
120 Гл. 6 Теория поля
Теорема 6.2.4. Пусть мера d\i на пространстве 9" (Rd) удовлетворяет
аксиомам OS 0-3. Тогда для аналитического продолжения функции Вайтмана W2
справедливо представление
оо
W2 (х, У) = \ dp (ш2) (х - у), (6.2.7)
о
где dp(m2)- положительная мера не более чем степенного роста и такая, что
1
^ In m~2dp (m2) < оо, d - 2,
(6.2.8)
^ m~l dp (пг2) < оо, d = l.
о
Более того, каждая такая мера dp соответствует одной и только одной
гауссовой мере d\x, обладающей свойствами инвариантности и
положительности при отражениях.
Доказательство. В силу результатов § 6.], функция как функция
разности х - у, лоренц-инвариантна. Ее преобразование Фурье,
рассматриваемое как функция импульсной переменной, сопряженной к разности
х - у (т. е. функция относительного импульса), является положительной
мерой. Это следует из соотношения
о<"р(0*ф(/)> = <ф(ОфШ>
для / из пространства комплексных основных функций 9>(Rd). В соответствии
со спектральным условием и предположением инвариантности получаем,
