Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Wn = W(x .......х") = (Q, ф/И (хх) ... ц>м (хп) Q) е 9>' (Rnd).
Перечисленные аксиомы могут быть эквивалентным образом переформулированы
как свойства функций Вайтмана. Переход от этих функций к операторам поля
осуществляется при помощи теоремы
116 Гл. 6. Теория поля
реконструкции IStreater, Wightman, 1964]. В силу трансляционной
инвариантности, Wn можно рассматривать как функции из пространства 9"
{R{n~i)d) от Xj--Xi.
Теорема 6.1.5. Пусть для меры djx на пространстве &)'{Rd) выполнены
аксиомы OS О-3. Тогда поле срм, определенное для вещественного времени,
удовлетворяет аксиомам W 1-3. Кроме того, аксиома OS 4 верна тогда и
только тогда, когда справедлива аксиома W 4.
Доказательство. См. гл. 19.
Замечание. Функции Швингера и Вайтмана связаны посредством аналитического
продолжения. Точным утверждением, которое доказывается в гл. 19, является
следующая формула:
^ ф?(хЬ /1)ф?(х2, t2)... срЕ(\п, tn)d\i -
= <Q, ф.м((7ь Xi)фл!(1Y2, х2) ... фм(itn, x")Q>. (6.1.17)
Функции Вайтмана на вещественной оси времени являются граничными
значениями аналитических функций, которые аналитически продолжаются в
евклидову область (за вычетом диагоналей Xi = Xj при каких-нибудь i?=j)
так, что выполняется (6.1.17).
Существующие стандартные методы построения квантовых полей естественно
приводят к мере dfi, для которой верны аксиомы OS, кроме, быть может,
аксиомы OS 4. Вопрос о том, обладает ли данная мера единственным
вакуумным вектором, обычно труден. Он тесно связан с возможностью фазовых
переходов и выбором граничных условий в определении меры. Существует
общая теория, которая позволяет, оставляя в стороне эти довольно сложные
вопросы, построить поле, удовлетворяющее полному набору аксиом OS 0-4.
Идея состоит в том, чтобы, получив какую-нибудь теорию, для которой
справедливы аксиомы OS 0-3, разложить ее на неприводимые компоненты,
каждая из которых имеет единственный вакуум и удовлетворяет аксиомам OS
0-4, а значит, н W 1-4. Пометим эти компоненты параметром ?. Они
соответствуют чистым фазам, определенным каждая в своем гильбертовом
пространстве
так что Ж = ^<5&jdp(?), где dp - некоторая вероятностная
мера. Кроме того,
(Q, Фм (/,) ... фM(fn) q)x = 5 (Qv Ф5, м (А) • • ¦ Фс. м (L) Qt>" ф (S),
и подобное разложение имеет место для меры djx Подробнее это построение
изложено в § 19.7.
Аксиомы Хаага - Кастлера касаются скорее алгебраической структуры
квантовых полей, не зависящей от их явной реализации в том или ином
гильбертовом пространстве Зё. Поэтому они удобны при обсуждении общих
свойств полей, не связанных с их
6.2 Свободное поле 117
реализацией, таких, как построение секторов суперотбора заряда,
построение зарядовых операторов и токов с помощью наблюдаемых поля и т.
д. Приведем эти аксиомы.
НК1. Каждой ограниченной открытой области В пространства-времени
поставлена в соответствие С*-алгебра 91(B) с единицей.
Полная алгебра 21 = (J 91 (В) имеет точное неприводимое пред-
в
ставление.
НК 2. Если Bj с= В2, то 9l(B])c= §t(B2).
НКЗ (Локальность). Если множества Bi и В2 пространственноподобно
отделены, то алгебры 91 (В]) и 91 (В2) коммутируют.
НК4 (Лоренц-ковариантность). Пусть {и, А}-элемент неоднородной группы
Лоренца. Тогда существует "-автоморфизм 0{а, л) алгебры 91, такой, что
для любого ограниченного множества В
О{а. Л)(51 (В)) =91 ({а, А}В).
Отображение {а, Л} -у 0{а, л) является представлением группы Лоренца.
Мы построим локальные алгебры 9((В), которые будут слабо замкнутыми
(алгебры фон Неймана).
Теорема 6.1.6. Пусть d\i - мера на пространстве 3)', удовлетворяющая
аксиомам OS 0-3. Тогда, если f - вещественная функция, то срм(/)~ -
самосопряженный оператор на пространстве <Ж Алгебры фон Неймана 91(B),
порожденные элементами ехр (мрм(/)"), где f - вещественная функция с supp
f е В, удовлетворяют аксиомам НК 1-4.
Доказательство. См. гл. 19.
6.2 Свободное поле
Свободное поле описывает невзаимодействующие частицы. Однако, несмотря на
свой тривиальный характер, свободные поля играют определенную роль и при
описании взаимодействующих частиц. Всякая частица, изолированная от
других частиц (а также внешних сил и полей), ведет себя как свободная.
Более того, в асимптотическом пределе при ?-^>-±оо происходит разделение
частиц благодаря различиям в скоростях, а также из-за дисперсии,
свойственной эволюции квантовомеханических систем. Поэтому в пределе при
t-y±oo поведение частиц мало отличается от поведения свободных частиц, и
они описываются свободными полями.
Свободные поля служат также отправной точкой при анализе и построении
взаимодействующих полей с помощью теории возму-
118 Гл. 6. Теория поля
щений по константе связи К. Важнейшее в этом отношении свойство свободных
полей состоит в том, что они допускают явное решение. Другие разрешимые в
явном виде поля, такие, как двумерная модель Тнрринга, задаются в виде
нелинейной и нелокальной функции некоторого свободного поля. Иной
возможной отправной точкой при построении взаимодействующих полей служит
