Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности постоянной энергии Я = Е равновесное распределение
вероятностей является априори равномерным относительно меры Лиувилля,
ограниченной на поверхность Н=Е. Равновесное распределение в пространстве
состояний изолированной системы называется микроканоническим ансамблем
Гиббса. Предположение состоит в том, что априорная вероятность
классического состояния с энергией Е пропорциональна
6 (Н - Е)йцм. ' (2.2.3)
Можно нормировать меру (2.2.3), поделив ее на инвариантную
площадь поверхности постоянной энергии V (Е) - jj 6 (Я - Е) d\iN ').
Как можно обосновать эту гипотезу? В случае когда имеются другие
интегралы движения, такие, как полный угловой момент, соответствующие S-
функции включаются в (2.2.3), приводя к новому (микро-микроканоническому)
ансамблю. Учтя таким образом очевидные интегралы движения, мы вводим
математический постулат об отсутствии дополнительных интегралов, или,
другими словами, об эргодичности микро-микроканонического ансамбля.
Рассмотрим теперь классическую траекторию (q(t), p(t)) -
*) Заметим, что, как и при доказательстве теоремы Лиувилля (предложение
1.2.1), используя равенство ^ б (Н - Е) dp = || grad Н мы получаем,
что (2.2.3) определяет объем, инвариантный при движениях на поверхности
Н=Е. Однако пример Н = р2 + aq2 показывает, что интеграл от инвариантной
длины ДУги
(б (Н - Е) dp dq =------- dp
J 2 л/Е - aq2
He равен длине эллипса Н - Е (если а = 1, то V(Е) = я, a Н = Е -
окружность длины 2я?'1/2). В случае когда || grad Н || не постоянен на
поверхности " ?> эти меры - площадь поверхности и равновесная мера -
различаются не
(tm)лько нормировкой. Фундаментальную роль в выборе определения (2.2.3)
играет инвариантность меры б (Я - E)d\xn,
48 Гл. 2. Классическая статистическая механика
кривую на поверхности, на которой постоянны энергия Е, угловой момент / и
т. д. Для наблюдаемой физической величины, т. е. функции F(q, р) на X, ее
среднее значение в состоянии равновесия совпадает с измеряемым временным
средним, определяемым по формуле
г
F{q{t), p{t))dt = (F)cр. (2.2.4)
В предположении эргодичности (т. е. отсутствия нетривиальных относительно
меры d\iN подмножеств, инвариантных под действием временных сдвигов) для
почти всех начальных условий временные средние совпадают со средними по
микро-микроканоиическому ансамблю:
<F)CP = V (Е, j, - -.Г' \Р (q, p)6(H-E)6(J-j) ... d"N, (2.2.5)
где V - объем микро-микроканонического ансамбля.
Для простоты ниже рассматривается случай, когда Я- единственный интеграл
движения. Несмотря на серьезные усилия и успехи, достигнутые в частных
случаях, эргодическая проблема1) не поддается решению. Возможно, что
другие подходы к важному вопросу обоснования постулата (2.2.3) о виде
равновесного распределения окажутся более перспективными.
В терминах микроканонического распределения определим меру
б^микрокан = ~JjT у ^ (.Н Щ d\^N- (2.2.6)
Основные факты классической статистической механики должны опираться на
квантовую статистическую механику. При таком подходе множитель \/N\ в
(2.2.6) объясняется эффектом симметризации или антисимметризации для
бозонной или фермионной статистики2).
Энтропия, или статистический вес, для различных значений числа частиц и
энергии определяется следующим образом:
S(E) = \n(cjr\6(H-E)d^). (2.2.7)
Энтропия является экстенсивной величиной в том смысле, что 5 (Е) растет
при стремлении к бесконечности числа частиц N и объема IЛ |.
(Термодинамический предел для большого канонического ансамбля
определяется ниже как предел при |Л|-"-оо и фиксиро-
') Так называют проблему об эргодичности динамики на поверхности Я = Е
или, что одно и то же, проблему обоснования равенства (2.2.5). - Прим.
ред.
2) Ссылки на квантовую механику излишни. Множитель l/N\ появляется при
переходе от пространства XW состояний N одинаковых различных частиц к
факторпространству XW/SW, описывающему состояния N неразличимых частиц -
группа перестановок N частиц).-Прим. ред.
2.2 Классические ансамбли 49
ванной плотности р = ЛУ|Л|.) Энтропия, как и энергия, по своему
физическому смыслу определяется с точностью до аддитивной константы. В
этом смысле определение (2.2.7) включает в себя произвольный выбор этой
константы. Соответствующая интенсивная величина - это
s(E) = 5(?)/|Л| = энтропия на единицу объема.
Обычно s(E) сходится к пределу при |Л|, N->- оо и фиксированных
плотностях р = ЛУ|Л| частиц и энергии е= Е/ |Л|.
Микроканоническое распределение предназначено для описания изолированных
систем; в то же время многие физические системы не изолированы. В
частности, такой системой является система, состоящая из фиксированного
числа частиц и находящаяся в равновесии с термостатом, в котором
поддерживается постоянная температура. Энергия перераспределяется между
рассматриваемой системой и термостатом до тех пор, пока в обоих не
установится температура Т. Микроскопически температура пропорциональна
среднему значению кинетической энергии, приходящейся на одну частицу.
