Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Потенциал V = e^j/l qt - qs\ отвечает сумме парных кулоновых
i<i
взаимодействий.
Теорема 1.6.1. Гамильтониан HN, задаваемый выражением (1.6.1), является
существенно-самосопряженным оператором в тензорном произведении N
экземпляров пространства ?г(^3). В случае частиц одинаковой массы
антисимметрическое подпространство инвариантно относительно этого
оператора.
Замечание. Этот важный результат Като в случае двух частиц легко сводится
к некоторым оценкам. Ради простоты мы будем рассматривать только этот
случай N = 2. После перехода к координатам центра масс частиц и их
относительным координатам гамильтониан #2 перепишется в виде
86 Гл. 1. Квантовая теория Здесь канонические координаты центра масс
равны
Q- "Н-У ' Р = Рг+Р" (1-6.3)
а (канонические) относительные координаты находятся по формулам
q = qi - q2> p = nq==JLpi _ -~р2, (1.6.4)
где \i - m\m2/(т,\т2)- приведенная масса. Для того чтобы доказать
самосопряженность оператора Н2, запишем l/|g|e Lx + L2, т. е.
Ш = Т7Г(1"х(*)) +ТТГ*^'
где х - характеристическая функция множества Нам по-
надобится следующая
Теорема 1.6.2. Пусть функция V(q), q^R3, равна сумме функций из Ь2 и Loo.
Тогда оператор -А + V, рассматриваемый на области 91 (Я3) cr L2 (R3),
существенно-самосопряжен.
Лемма 1.6.3. Пусть А - существенно-самосопряженный оператор с областью
определения ?2>(Л), а В - симметрический оператор с областью определения
3) (В) ю ZD (А). Предположим, что для некоторых констант а < 1 и b верно
неравенство
|| Be ||< а II АВ11 + 611011, 0<=0(Л). (1.6.5)
Тогда А + В есть существенно-самосопряженный оператор с областью
определения 2D (А).
Доказательство, Мы покажем, что для достаточно больших у образ оператора
А + В ± iy плотен в гильбертовом пространстве Ж С помощью разложения в
ряд Неймана устанавливается существование оператора (I + В(А ± как
ограниченного оператора в гильбертовом пространстве Ж Так как
(А + В ± iy) (А ± 1у)~х~ 1 + В(А± 1уУ\
то, умножив обе части равенства справа на (/ + В (А ± 'У)~')~\ получим
утверждение о плотности образа оператора (АВ ± iy). Для доказательства
сходимости ряда Неймана
(I + В (А ± iy)-l)~X = f] [- В (А ± iy)-l]n,
п=О
надо получить оценку
II5 (Л ± iy)~l II < 1. (1.6.6)
Имеем
II В (Л ± iy)~lQ || < а \\А (А ± 1у)~'в II + b II (А ± iy)~ 'в || <
^(а + Ь/у) || в ||.
Отсюда при а + bjy < 1 получаем оценку (1.6.6). |
1.6 Кулонов потенциал 37
Замечание. Если оператор А ограничен снизу, то, выбирая в приведенных
выше рассуждениях у < 0 и большим по абсолютной величине, мы докажем
полуограниченность оператора А -f В.
Лемма 1.6.4. Пусть f ^ L2{R3) и е > 0. Тогда существует такое b < оо, что
для Be?'(R3)
11/ец2<в||Д0||2 + &||0||2.
Доказательство. Оценка доказывается с помощью преобразования Фурье. Пусть
||-||р обозначает Lp-норму. Для 0 < б < 1/2 верна цепочка неравенств
11/0||2<11/||*1|0||с.<11/П*1|0|Ь<
< II / lb II (1 + Р2Г3/4-6 111 II (1 + р2)3/4+60 ||2 < 8II де II, + ъ
II01|2.
На последнем шаге мы воспользовались тем, что при а < 1, х ^ 0
справедлива элементарная оценка ха sg гх + Ь(е).
Доказательство теоремы 1.6.2. Пусть V = fi + /2, где /i е L2, /2 е Lm. По
лемме 1.6.4 имеем
II VQ Ц2 < II /i0 1Ь + || /20 ||2 < е || А0 ||2 + (Ь + || /,\U || 0
||2.
Поэтому, в силу леммы 1.6.3, оператор -Д+ V существенно-самосопряжен. |
Заметим, что умножение на вещественную функцию V е L3/2+e, е > 0, вообще
говоря, не определяет оператор на 91. Однако такая функция задает
билинейную форму на 91. При этом рассуждения, основанные на разложении в
ряд Неймана, показывают, что билинейная форма -А+У однозначно определяет
самосопряженный оператор. Более важное применение теории возмущения
билинейных форм относится к уравнению Дирака с кулоновым потенциалом.
Уравнение Дирака описывает релятивистский электрон, и с его помощью можно
вычислить поправки к собственным значениям для гамильтониана (1.6.1). При
больших N теория возмущений билинейных форм для уравнения Дирака не
работает. Второй и более серьезный недостаток уравнения Дирака состоит в
том, что его спектр не ограничен снизу.
Утверждение о том, что оператор Ни ограничен снизу, следует из замечания,
сделанного после доказательства леммы 1.6.3. Важный результат о
зависимости оценки HN от N получен в работе [Dyson, Lenard, 1967-8]. Он
связан с существованием предела при N-> оо (устойчивость вещества в
термодинамическом пределе), доказанным в статье [Lieb, Lebowitz, 1972].
См. также [Lieb, Thirring, 1975] и [Lieb, Simon, 1977а, b].
Теорема 1.6.5. Пусть |е,|, т* ^ М. Тогда найдется такая постоянная В, что
HN + NB ^ 0.
Спектр оператора HN удобнее изучать в подпространстве, в котором
определено значение полного импульса Р. Физически это означает, что мы
фиксируем движение центра масс системы,
88 Г л. 7. Квантовая теория
В этом подпространстве оператор Hn имеет как дискретный, так и
непрерывный спектр. Собственные векторы, отвечающие дискретным
собственным значениям, называют обычно ^-частичными связанными
