Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
состояниями. При подходящем выборе зарядов е,- и масс пи эти векторы
описывают движение N - 1 электронов в атоме либо в основном, либо в одном
из возбужденных состояний. Состояния непрерывного спектра называются
состояниями рассеяния. В этих состояниях один или несколько электронов
свободны (не связаны), в то время как остальные частицы образуют
однократно или многократно ионизованный атом. В качестве непрерывного
параметра, от которого зависит спектр, выбирается импульс относительного
движения свободного электрона (или нескольких электронов) и ионизованных
атомов.
Случай N - 2 - это хорошо изученный случай атома водорода. Собственные
функции в этой модели могут быть найдены в явном виде; например, в
шредингеровом представлении
г!> = ЫФ)Рие, ф) е~г/а, (1.6.7)
где Ьп есть п-й полином Jlareppa, Р'п - сферические гармоники, а -
некоторая постоянная. Обобщенные собственные функции, отвечающие
непрерывному спектру, тоже могут быть вычислены явно и тоже содержат
полиномы Лагерра. Задаче о рассеянии двух частиц посвящена обширная
математическая литература. В этой теории рассматриваются потенциалы вида
V-\-\/\q\. (Вообще говоря, V убывает на бесконечности быстрее, чем
\/\q\.) Эта задача уже не решается в явном виде. В качестве примеров
потенциалов, встречающихся в физических задачах, назовем потенциал Юкавы
V(q) ~ e~mW/\q\ и потенциал Леннард-Джонса V(q) - а\ q\-n - Р|^|-а, а, |3
> 0. Потенциал Юкавы описывает ядерные взаимодействия в нерелятивистском
приближении, а по-тенциал Леннард-Джонса используется для приближенного
описания взаимодействия между молекулами. Межмолекулярные силы
электромагнитны по своей природе и, значит, в принципе могут быть
выведены из кулонова взаимодействия. Ядерные силы управляют
взаимодействием мезонов, нейтронов и протонов. Их нереля-тнвистское
приближение V ~ e~m^/\ q[ выводится из релятивистской квантовой теории
поля, например, с взаимодействием А,ф4 + + *ГФ+1рф-
Случай N = 3 - это атом гелия. Существование большого числа связанных
состояний в этой модели было доказано в работе [Kato, 1951b]. Теория,
развитая в работе [Фаддеев, 1963], допускает лишь достаточно регулярные
потенциалы и не применима к куло-нову взаимодействию. В ней построены
состояния рассеяния для задачи трех частиц и доказана так называемая
асимптотическая полнота. Асимптотическая полнота означает, что связанные
со-
1.6 Кулонов потенциал 39
стояния вместе с состояниями рассеяния (т. е. состояниями ионизованного
атома) полны в пространстве Ж = L2(R3N), а в случае неразличимых частиц -
в некотором симметрическом или антисим-метрическом подпространстве этого
гильбертова пространства. Упомянутая теория была распространена на случай
произвольного N в работах [Нерр, 1969а], [Sigal, 1978] и IHagedorn,
1980]. Задача асимптотической полноты в этом случае рассматривалась
многими авторами и для разных классов потенциалов, однако для кулонова
потенциала все еще нет полного математического обоснования. И тем не
менее спектр оператора Hn можно описать, опираясь на формальный анализ,
теорию возмущений и экспериментальные данные. Связанные состояния атома с
N - 1 электронами можно описать приближенно. Качественная картина
приводит и к объяснению периодической таблицы химических элементов, и к
объяснению спектральных линий поглощения и излучения света атомами. Для
получения приближенной картины пренебрегают, например, отталкивающим
электрон-электронным взаимодействием. Тогда оператор Ни, действующий в
пространстве L2(R3fJ), превращается в прямую сумму операторов, отвечающих
атому водорода, и, значит, имеет точное решение. Результатом
антисимметризации является принцип запрета Паули: собственное состояние
оператора Hn- это тензорное произведение N-1 связанных состояний атома
водорода, по одному для каждого из jV - 1 электронов, и все электроны
должны быть в различных состояниях. Если N не слишком велико, то
электрон-электронное взаимодействие можно учесть, пользуясь приближенными
методами теории возмущений.
Состояния рассеяния при N ^ 3 описываются с помощью кластеров. Кластером
называется подмножество системы N частиц, а кластерное разбиение - это
разбиение системы N частиц на кластеры. Состояние рассеяния, отвечающее
данному кластерному разбиению - это состояние, в котором частицы из
одного кластера все время остаются вблизи друг от друга (т. е. образуют
связанное состояние), а разные кластеры отделены друг от друга и движутся
независимо. В случае одного атома единственно возможными кластерными
разбиениями являются разбиения на однократно или многократно ионизованный
атом и соответственно один или несколько свободных электронов. Это
объясняется тем, что из-за сил отталкивания не существует связанных
состояний, образованных двумя или несколькими электронами. В случае
нескольких атомов (или молекулы) для образования кластеров, вообще
говоря, больше возможностей. Например, для молекулы воды допустимы
