Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
кластерные разложения: Н20 ^ Н2 + О и Н + Н + О, а также образование
ионизованных состояний, в которых отдельные составляющие теряют или
приобретают один или несколько электронов, например Н+ + ОН-.
40 Гл. 1. Квантовая теория
1.7 Атом водорода
Простейший атом - это атом водорода, состоящий из электрона и протона.
Шредингеров гамильтониан Я, который описывает атом водорода, имеет вид
Я = -~Л*, -/-Ал--г-^ ---------------г. (1.7.1)
2me ' 2тр 1 I xi - х21 4 '
Здесь те, тР- массы электрона и протона, хи х2 - их координаты, а -е и е
соответственно электрический заряд. В вычислениях заряд часто встречается
в безразмерной комбинации, которая называется постоянной тонкой структуры
а = е2/Нс =" (137,035963 ± 0,000015) ~J. (1.7.2)
Массе покоя те электрона соответствует энергия покоя, равная це = тес2 =
0,5110034 ± 0,0000014 МэВ, (1.7.3)
где 1 МэВ = 106 эВ; аналогично у приведенной массы тг = = тетр/(те + тр)
энергия покоя равна
= (1 + те/тр)-х\ie = 0,999449819 (1.7.4)
После выделения из (1.7.1) энергии движения центра масс (более общее
рассуждение см. в § 13.2) останется гамильтониан, отвечающий
относительному движению электрона и протона. Это гамильтониан одной
частицы массы тг, движущейся в поле потенциала -в2/\х \:
Я = - (h2/2mr)A - e2/\x\. (1.7.5)
Гамильтониан Я имеет собственные значения Еп кратности п2, равные
E"=*iuz,2/2na, ne±Z+. (1.7.6)
При ti = 1 энергия основного состояния равна
Ех = -13,5983 эВ. (1.7.7)
Это есть взятая со знаком "-" энергия ионизации атома водорода.
Другими словами, энергии 13,6 эВ достаточно, чтобы отщепить
электрон от протона.
Как объяснялось в § 1.4, разность энергий Еп - Ет = hv определяет частоту
v испускаемого света, поэтому спектроскопические измерения иногда
выражают в волновых числах, т. е. величинах, обратных длине волны:
Х-1 ^v/c = {Еп - Ет) /he. (1.7.8)
Так как he - 12,39852-10~5 эВ-см, то в этих единицах приведенное выше
значение Е\ равно
-?i/ftc"= 109677 см-1. (1.7.9)
1.7 Атом водорода 41
На самом деле благодаря точности спектроскопических измерений Ei может
быть вычислено с огромнейшей точностью, например с точностью до КН.
Наблюдаемые спектральные линии атома водорода расклассифицированы
различными методами. Переход от п > 1 к уровню п= 1 называется серией
(рядом) Лаймана, от п> 2 к п - 2 - серией Бальмера и т. д., см. рис. 1.2
Лайман Бальмер Пашен " _.
----------*-----------------И Т.Д.
(ультрафиолетовый) (видимый) (инфракрасный)
5332 7799 ' 1
15233 СО 1Г> О см 23032
82258 97491
Рис. 1.2. Наблюдаемые переходы в атоме водорода с указанием некоторых
волновых чисел в см-1. Частоты получаются умножением на с = 2,99792458 X
X Ю10 см.с-*.
Утверждение о том, что собственные значения Еп имеют кратность п2,
следует из анализа неприводимых унитарных представлений группы вращений
50(3) трехмерного пространства, которые действуют в пространстве L2(R3) и
оставляют инвариантным гамильтониан Я. Такие представления имеют
размерность 2/+1, где / - неотрицательное целое число, j - О, 1, 2, ...
(квантовые числа углового момента). При фиксированном п собственное
подпространство Зёп, отвечающее собственному значению Еп, можно разложить
на неприводимые относительно действия группы 50(3) компоненты. Это
разложение имеет вид
П- 1
50"е*(r)0(/). (1.7.10)
/= О
п- 1
Поэтому dim Эёп = ? (2/ -f 1) = п2.
1=о
Интерпретация числа / как углового момента является следствием постулата
РЗ из § 1.3. В самом деле, классический угловой
42 Гл. 1. Квантовая теория
момент J одной частицы - это не что иное, как векторное произведение ее
координаты на импульс: J = хХР- Используя шредин-герозо представление р -
-itiVx, мы обнаружим, что компоненты вектора J удовлетворяют тем же
коммутационным соотношениям, что и образующие алгебры Ли группы SO(3), т.
е. [//, Jj] = itiJk> где (г, /, k) - циклическая перестановка чисел (1,
2, 3). Переходя к экспонентам, мы получим представление группы вращений
SO(3) в гильбертовом пространстве Ж = L2(R3). Таким образом,
есть не что иное, как элемент группы, представляющий вращение на угол 0
вокруг оси, идущей в направлении единичного трехмерного вектора п. С этим
представлением коммутирует оператор Казимира
который имеет собственные значения ti2j(j + 1), / = О, 1, ..., каждое с
кратностью 1. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному /,
(2/ + 1) -мерно, и ограничение V на это подпространство является
представлением с угловым моментом /. Поскольку группа 50(3) компактна,
любое ее унитарное представление может быть разложено в сумму
конечномерных представлений 3)и). В пространстве можно выделить
естественный базис, состоящий из сферических гармоник Р!п, что и приводит
к появлению функций Рп в формуле (1.6.7).
В случае нескольких частиц полный угловой момент
обладает теми же свойствами, что и J, и определяет представление группы
вращений в пространстве L2(R3N). Как и выше, S)U) являются неприводимыми
представлениями. В задаче с центрально-симметричными силами, подобной
