Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Йц-n, где п - число квантов. Для произвольного состояния 0 имеем 0 = X
сп^л. гДе
|с"|2- вероятность наличия п квантов и <0, A*AQ) - ?п\сп\2- среднее число
квантов в состоянии 0. Поэтому оператор А*А называется оператором числа
частиц.
В шредингеровом представлении волновые функции Q"(y), как мы увидим ниже,
совпадают с нормированными полиномами Эр-мита. Пусть Рп{х) обозначает п-й
полином Эрмита, т. е.
[п/2]
Рп(х)= I (-1)Ч,^"-2''> (1-5.12)
о
где [п] - целая часть числа и
Ся>/ = n\[(n - 2j)\2ij\]. (1.5.13)
Лемма 1.5.2. (х- d/dx) Рп = Pn+i-
Доказательство. Левая часть равна ["/21
? (-1)' Сп, j [хп+1~21 - (п - 2/) хп+1-2{1+1)]. (1.5.14)
/=о
Заметим, что
(. 2/ ^ 2 (/ + 1)
Сп'! \ п+ i)Cn + 1'i (П+ 1) (га - 2/) с" + 1./ + >-
Подставим эти тождества в разложение (1.5.14). Переобозначив индексы,
получим представление (1.5.12) полинома Р"+1. 1
Лемма 1.5.3. Обращением (1.5.12) служит формула
[п/2]
Хп = Zo Сп, jPn_2j (х). (1.5.15)
Доказательство. Воспользуемся индукцией. При п = 0 лемма верна.
Предположим, что утверждение доказано при п ^ г. Тогда, в силу леммы
1.5.2,
х
[г/2] [г/21 / . \
r+1 ~ Z сг, Iх ¦ р'-*1 W = X с'. 1\ рг+1-а (*) + -77рг->1 (*) •
/=0 / = 0 \ ах j
Воспользовавшись предположением индукции, получим сначала, что члены с
производной в сумме дают одночлен гх'~1, который можно разложить по
полиномам
1.5 Простой гармонический осциллятор 31 Эрмита вновь с учетом
предположения нндукции. В результате получим
[г/2] [<М-1)/21
ХГ*Х = Yj СГ, lPr+t~2l М + 2 ГСГ~\, i-\Pr+\-2j (X).
1-0 /=1
Заметим, что сЛ+), , = с,, , + гсГ~\, /_| при / sg;
[г/2], и если г нечетно, а / =
1(/-+11/21
= (r+ 1) /2, TO Cr+l, I = fCr-i, /-1. Поэтому ,tr+l = Сс+1, /Рг+1-2/
(А-). I
/= о
Предложение 1.5.4. (Л*я?20) (г/) = Ря ( V2 г/) й0(г/),
Gn ("/) = "!" l'2Pn ( V2 "/) йо ("/)¦
Доказательство. Опять воспользуемся индукцией. При /г = 0 утверждение
верно. Пусть оно доказано для некоторого фиксированного п. Используя
(1.5.10), получим
Оя + 1 = (и + \Г112А*9.п = (я + 1)П,/2Л*Р,г (У2 !,) Q0 (у).
В силу (1.5.3), Л* = 2~l/2(y - d/dy), поэтому
fln+1 = (n+ l)!-12[21Vu(V2r/)-2-1/2 dPn^y-y)\ Qo Ы-
Из леммы 1.5.2 следует, что Qn+i = (и + 1)!_1^2P"+i (V2 у) Qo- Тем самым
индукция завершена. В
Оператор P"(V2 Q) = Е (- О7 сп, / (л/2 Q)"" *2/ в шредингеровом
представлении в пространстве Ш - L<2(dy) является оператором умножения на
функцию P"(V2y)-
Теперь определим "упорядоченные мономы Внка" от переменной Q формулами
:Qn: = 2 п,2Рп (V2 Q) = Qn + полином степени (я- 2) =
[п/21
= 1 (- 1 )'<?"./2~'Q""2'. (1.5.16)
/"о
На полиномы от Q это определение распространяется по линейности. Мономы
Вика :Qn: - это полиномы степени я. Они ортогональны при интегрировании
по гауссовой мере
d(f = Q2dy = л~112е~У2йу. ;1.5.17)
Иначе говоря,
J -Qn: :Qm: dq> = (Q0, :Q": :Qm: Q0) =
= 2~{n+m)l2 <Л*"Оо, Л""й0) = 2"яя!6"т.
Предложение 1.5.5. На области, являющейся линейной оболочкой аоботвенных
функций Q", имеет место равенство
:Qn: = 2~n/2 ? ( (1.5.18)
/=оч 1 '
32 Гл. t. Квантовая теория
Замечание. Эта формула есть не что иное, как биномиальное разложение для
Q" = 2~',/2 (А* А)", переписанное так, что каждый оператор рождения А*
стоит слева от оператора уничтожения А (т. е. в виковом упорядочении).
Можно проанализировать эти формулы на языке диаграмм. При этом
оказывается, что коэффициент сп, j равен числу способов выбора j
неупорядоченных пар из п элементов.
Доказательство. Обозначим правую часть равенства (1.5.18) через L. На
пространстве 91
[Q, L] = 2-(n+U!2 fJ(ni){iA''i~]An-!-(n~j) А"'Ап~1~]} -0.
,•=о ' '
Поэтому \P, (s/2Q), L\ = 0. Воспользовавшись определением (1.5.16) и
предложением 1.5.4, получаем
0 = {:q": - l) q0 = гг l!2Pr (л/2 Q) (:Qn: - l} q" = {:Qn: - l} Q,. I
Предложение 1.5.6. Векторы %v = eivQQ0, где v вещественно, порождают
пространство L2-
Доказательство. Предположим, что вектор 0 sL% ортогонален Xv Тогда
О = (0, Xv> = (6e~Q!/2)^(v).
Так как преобразование Фурье-унитарный оператор в Z.2, то ве~(r),'2 - 0.
Следовательно, 0 = 0 и, значит, Xv порождают Li. R
Предложение 1.5.7. Нормированные полиномы Эрмита Qn{y) образуют полное
ортонормированное множество в пространстве L2.
Доказательство. Покажем, что векторы % принадлежат линейной оболочке
векторов й". После этого утверждение будет вытекать из предложения 1.5.6.
Обращение формулы (1.5.16) получается с помощью (1.5.15):
In/21
Qn = Е сп Fl -Qn~21-, (1.5.19)
/=о
поэтому Q"Qo лежит в линейной оболочке векторов Qn, а именно
[п/21
QnQ0 = ? cni f2~n/2 (п - 2/)!1/2Q"_2/. П.5.20)
/=о
Далее,
1п/21 [П/21
IIг - g <,*-"<"- ад - ? < 0 <" "'•
ОО
поэтому ряд Xv = Е (iyQ)n (Я')~ *^0 СХОДИТСЯ В Z-2. I гс-0
Предложение 1.5.8. Для любого комплексного v ряды, определяющие
экспоненту, сходятся, и имеет место равенство
¦ evQQr = e^evA'/^A/^Qr. (1.5.21)
1.8 Простой гармонический осциллятор 33
Доказательство. Сходимость рядов при г =¦ 0 следует из (1.5.20). В силу
равенств (1.5.16) и (1.5.19),
