Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
со следом (tr р < оо). При этом среднее значение вычисляется по формуле
р(В) = tr(pB) /tr p. (1.3.2)
Если ранг оператора р равен 1, то р задает чистое состояние (1.3.1), а
р/tr р - проекция на одномерное подпространство, порожденное вектором
0/||0||. В других случаях состояние р(В) является выпуклой линейной
комбинацией чистых состояний:
р(Я) = ?а.-<в', Я0/>, (1.3.3)
где 0,- - ортонормированная система собственных векторов оператора р, a
Yj ai = 1-
Постулат РЗ. Гамильтониан Н является инфинитезимальным генератором
унитарной группы U({) = e~ttlilh сдвигов по времени, импульс Р -
инфинитезимальным генератором унитарной группы е пространственных
сдвигов, а угловой момент (момент количества движения) J -
инфинитезимальным генератором унитарной гРуппы пространственных вращений.
Группа U(t) сдвигов по времени определяет динамику. В квантовой механике
общеприняты два разных подхода: шредингеров-сКий и гейзенберговский. В
первом наблюдаемые не меняются до
24 Гл. I. Квантовая теория
временем, а состояния эволюционируют по формуле
0 (/) = e~itHi''Q. (S1)
Векторы-состояния удовлетворяют уравнению Шредингера
itictQ(i) fdt - HQ(t). (S2)
Зависящее от времени состояние 0(/) задает среднее значение be{t)(B).
Второй подход к описанию динамики - это картина Гейзенберга, в которой
состояния неподвижны, а наблюдаемые эволюционируют в соответствии с
действием группы автоморфизмов
В -> В (t) = eitH/hBe- itH'h = U (/)* BU (t). (HI)
Произвольная наблюдаемая В удовлетворяет уравнению динамики
tidB(t)/dt=[iH, B{t)], (Н2)
формальным решением которого служит ряд
оо
В(0=^[Я, [Я, .... [Я, В], ...]]. (НЗ)
д=0
Отметим сходство между (Н2-3) и формулами (1.2.8-9); роль скобок {•, •}
играет коммутатор [•, •Ц/Й)-1. Постоянная Планка Тг имеет физическую
размерность действия, как и произведение pq.
Связь между представлениями Гейзенберга и Шредингера устанавливается
равенством
E0W(B) = E0(B(t)). (1.3.4)
Заметим, что из постулата РЗ следует, что результаты наблюдения (т. е.
значения скалярного произведения <0, %>) не зависят от того, в какой
момент времени это наблюдение производилось, т. е.
|<0,х>1 = |<0(О, зс(0>1-
Обратно, пусть 0 и 0' - два вектора гильбертова пространства Ж,
полученных один из другого при помощи некоторой симметрии Ж, т. е.
взаимно однозначного преобразования Ж на себя, которое сохраняет
вероятности: | <0, х> | = I <9'- %'У I •
Теорема 1.3.1 (Вигнер). Каждая симметрия гильбертова пространства
Ж является либо унитарным преобразованием U: 0' = (70,
либо антиунитарным оператором А: 0' = AQ.
Этот результат показывает, что любую симметрию гильбертова пространства Ж
можно рассматривать как представление какой-нибудь группы координатных
преобразований. В частности, группа сдвигов по времени действует с
помощью унитарной группы операторов U(t) в Ж. Лищь некоторые дискретные
симметрии (напри-
1.3 Квантовая механика '25
мер, обращение времени в нерелятивистской квантовой механике)
представляются антиунитарными преобразованиями в Ж.
Перейдем теперь ко второй части этого параграфа, в которой мы подробно
рассмотрим случай нерелятигшстской квантовой механики. При стандартном
описании системы п частиц, движущихся в поле потенциала V, вводят
гильбертово пространство
Ж = Ь2{0), (1.3.5)
где Q = R3n- конфигурационное пространство. Выбор гильбер-
това пространства в виде (1.3.5) называется шредингеровым представлением
(не путать со шредингеровой картиной). Функция т|з(д)^Ж интерпретируется
как плотность распределения вероятностей p(q) = |^(<?) |2 положения
частиц в пространстве Q. Согласно РЗ, имеем
р{ - (fi/i) V?j, (1.3.6)
а гамильтониан вида
H='L(p'j/2ml) + V(q) (1.3.7)
превращается в эллиптический дифференциальный оператор
H = -'Z(h*/2ml)\qj + V(q). (1.3.8)
Заметим, что (канонические) коммутационные соотношения
[qu qi] = 0 = [pt, Pj], [ри qj] = - iMiil (1.3.9)
подобны соотношениям (1.2.7), в которых скобки {•, •} заменены
коммутатором [•, ¦] (iti)-1. Эти соотношения сохраняются при действии
гейзеиберговой динамики.
Представление (1.3.5) не позволяет учесть спин элементарных частиц,
например нулевой спин у я-мезона (пиона), спин 1/2 у электрона, мюона,
протона или нейтрона, спин 1 у фотона и более высокие значения спина у
других частиц или ядер. Для того чтобы изучать взаимодействия, зависящие
от спина (например, взаимодействие спинового магнитного момента с
магнитным полем), мы Должны вместо пространства (1.3.5) рассмотреть n-
кратное тензорное произведение
Ж=(r)и{0, S). (1.3.10)
Здесь Q = R3, а Ь2 - пространство функций, определенных на Q, со
значениями в спиновом пространстве 5 конечной размерности. Для частиц с
нулевым спином 5 = С, и именно этому случаю соответствует выбор
пространства (1.3.5). Для частиц с ненулевым спином 5 = C2s+I. Компоненты
вектора 0(^) в этом случае обозна-Чим Q(q, ?). Группа вращений
(генераторами которой служат опе-РаТоры составляющих углового момента J)
действует как на
26 Гл. I. Квантовая теория
