Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оо оо [п/2]
(vQ)nrt!_1?30 = ^] уппГ1еП' j2~n^2Atn~2'Q0 =
П=0 П = 0 /=0
°° [П/2] 2/ п-21
_У V У2'-у" 21 г"-2,п _
hh *inn-w*n-2m
¦ е
v"/4gvA*/V2qo gvV'lgVj4*/V2gVj4/
Далее, / (v) = evA*/4e"vA> =/ (0) + v/' (0) = Л - v, поскольку /<">(v) =
0 при d^2. Отсюда получаем, что evA Л = (Л - v) eVj4 и [Q, eVj4 eVj4] Qo
= 0- Умножение на (rl)~ 1,2Pr (V2 Q) завершает доказательство сходимости
ряда для экспоненты при г Ф 0 и дает формулу (1.5.21). 9
Заметим, что равенство (1.5.21) - это формула типа en^s s=eR^e-\.R.syii
де, S] = al,
справедливая во всяком случае для ограниченных операторов R и S, таких,
что их коммутатор кратен единичному оператору. Чтобы не заботиться об
областях определения рассматриваемых операторов, мы дали прямое
доказательство равенства (1.5.21). А вообще говоря, оно следует из того,
что функция ^ ^ = еХ (R+S)e-bSe-KReK2 IR, Sl/2
удовлетворяет уравнению первого порядка f'(k)= 0, f(0) = /, единственным
решением которого служит f(^) = /.
Выше мы уже отмечали, что если доказана полнота некоторого данного
семейства собственных функций, то при доказательстве полноты такого
семейства у широкого класса гамильтонианов можно использовать некоторые
абстрактные критерии. В частности, можно показать, что у гамильтонианов
Hi более общего вида, чем гамильтониан #osc гармонического осциллятора,
возможны лишь дискретные собственные значения. Это верно, например, в
случае гамильтониана ангармонического осциллятора
НI = Н osc + - ц<7 + const.
Теорема 1.5.9. Пусть Н и Нi - самосопряженные операторы и
0<Ж const -Ни (1,5.22)
Тогда оператор Я, имеет компактную резольвенту и полное множество
собственных функций, при условии что этими свойствами обладает оператор
Н.
Доказательство. Из (1.5.22) следует, что оператор В = ЛГ^2ЛГ|'1^2
ограничен. Поэтому оператор Hyl^2 = H'^2B есть произведение ограниченного
и компактного операторов и, следовательно, тоже компактен. Отсюда
вытекает компактность резольвенты и полнота системы собственных функций.
|
34 Гл. ). Квантовая теория
Эта теорема иллюстрирует важность априорной оценки (1.5.22) при сравнении
двух операторов: более сложного оператора #ь про который ничего не
известно, с простым конкретным оператором Hose-
Перейдем теперь ко второму важному свойству оператора И, состоящему в
том, что в шредингеровом представлении является интегральным операторохЧ
с положительным ядром pt{y,y'):
y)=\pt(tf, y')Q(y') dtf. (1.5.23)
Для того чтобы это ядро сохраняло гауссово вероятностное распределение
(см. ниже формулу (1.5.22)), необходимо перенормировать оператор Я,
задаваемый равенством (1.5.2), и положить tf =-i(P2 + Q2)_i =А*А.
Теорема 1.5.10. Ядро оператора e~tH обладает свойствами
РЛУ, У') = РЛУ'> У)>в. (1.5.24)
\pt(y> У') exp {т (У2 - y'2)}dy'*= 1. (1.5.25)
В частности, явное выражение для него дается формулой Мелера Pt {У, У') =
1/2 (1 - е~2Г1/2exp (- (1.5.26)
Доказательство. Симметричность ядра - следствие определения (1.5.23) и
сим-
метричности оператора Н (кроме того, она вытекает из (1.5.26)). Свойство
(1.5.25) означает, что e~tHQ0 = Q0, поэтому для его доказательства
достаточно показать, что HQo = 0. Последнее равенство верно в силу
сделанной перенормировки гамильтониана. Положительность ядра pt следует
из формулы Мелера, к доказательству которой мы сейчас перейдем.
Воспользовавшись (1.5.21), получаем, что
e~tHXv = e-tHel^Qa = e-<He-^e*v^/V^0 "
= = exp [-v2(l ~e~2t)/4] exp [/v""*Q]Q0.
Поэтому, в силу определения ядра (1.5.23), имеем
^ Pt(y, у') e~y'Sl2etvy' dy' = exp ^- v2 --|-h lve~*y -
Теперь для того, чтобы закончить доказательство, надо сделать обратное
преобразование Фурье по переменной v. После умножения на (2ji)~!e^!V4,
правую часть последнего равенства можно представить в виде
- [(^+* - И) •
Сдвинув вещественную прямую (контур интегрирования) на комплексное число,
перейдем к интегралу вида ^ e~av^2 dv ~ (2я)1/2а~ ^2. В результате
получим формулу (1.5.26). I
1.6 Кулонов потенциал 38
В общем случае обычно переходят к представлению = L2(d<f(y)), где dq>(y)
= Qody(cM. (1.5.17)), в котором основному состоянию соответствует
функция, тождественно равная 1. Тогда остальные состояния будут
представлены функцией Q0 (у) =
= nl/ieyi~, умноженной на их шредннгерово представление. В этом
представлении ядро оператора e~tH определяется формулой
(е- гя0) {у) = J Жt {у, y')Q (у') dtp (у'), где Ж((у, y') = Q0(y)~1pt(y,
У')%(У')~Х =
1.6 Кулонов потенциал
В атомной физике основным потенциалом является кулонов потенциал. Он
описывает электромагнитное взаимодействие электронов и ядер, образующих
атомы и молекулы.
В случае двух частиц (атом водорода) уравнение Шредингера допускает
решение в элементарных функциях. В случае же большего числа частиц можно
получить только оценки и выполнить приближенные вычисления.
Рассмотрим гамильтониан HN системы N частиц с массами т;, зарядами е,-,
импульсами pi и координатами qt, i = 1, ..., N. Тогда
I о-в-"
г-i ' Kt < I<n 11
