Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 9

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 187 >> Следующая

- векторное произведение
- производная по времени; обозначение для опущенной переменной, как,
например, /(•) = /
- теоретико-множественная разность: А\В =
= {х: х е А, х В}
- комплексное сопряжение; замыкание
Часть I
Введение в современную физику
Глава I
Квантовая теория
1.1 Общее представление о квантовой теории
Классическая механика является предельным случаем при Й-> О квантовой
механики, а нерелятивистская (ньютонова) механика - предельным случаем
при с^оо специальной теории относитель-
Квантовая теория поля
Рис. 1.1. Классический и нерелятивистский пределы квантовой теории поля.
ности. Здесь Й обозначает постоянную Планка, а с - скорость света.
Квантовую теорию поля можно рассматривать как комбинацию квантовой
механики и специальной теории относительности. Она содержит оба параметра
Тг и с и имеет два вырожденных предела: один при с -у оо, а другой при Н-
уО. В классическом пределе квантовой теории поля (Н-у 0) могут получиться
две науки: классическая теория поля и классическая теория частиц - в
зависимости от того, по какой последовательности состояний мы перехо-
t.2 Классическая механика 19
дим к пределу. При этом только во втором случае (теория частиц) можно
сделать еще и нерелятивистский предельный переход (с_*_оо) к классической
механике частиц (рис. 1.1).
1.2 Классическая механика
Мы приведем несколько основных определений из классической механики (а
также классической статистической механики), с тем чтобы сравнить их с
соответствующими понятиями квантовой механики. Рассмотрим систему п
частиц, массы nij каждая, движущихся в поле с потенциалом V, не зависящим
от времени. Фазовое пространство этой системы 35 = R6n определяется как
сумма конфигурационного пространства Q - R3n и сопряженного импульсного
пространства Р = R3n. Классической наблюдаемой называется функция B(q,
р), (q, p)^(Q, Р) = 35, на фазовом пространстве.
Классическая механика изучает эволюцию точки фазового пространства во
времени, а неравновесная классическая статистическая механика - эволюцию
распределения вероятностей на фазовом пространстве. В обоих случаях
законы движения определяет гамильтониан, или полная энергия системы. В
декартовых координатах гамильтониан имеет вид
Рассмотрим кривую (q(t), p(t)) в фазовом пространстве с некоторыми
начальными значениями (q0, р0) в момент времени t0. Эта кривая получается
интегрированием уравнений Гамильтона (Ньютона)
с начальными условиями q(t0)=q0, p(t0)=p0. В общем случае можно
рассматривать эволюцию произвольной наблюдаемой В: Bi(q, p) = B(q(t),
p(t)) с начальными условиями Bto (q, р) = = B{q, р). Из (1.2.2) следует,
что
где DH - векторное поле на фазовом пространстве 95, имеющее вид
П
2
dqt (t)/dt = VPiH = Pilrrii,
dPi (t)/dt = -vq.H = - VqiV = Ft (q)
(1.2.2)
dBt (q, p)/dt = DHBt (q, p),
(1.2.3)
П
Предполагая, что уравнение (1.2.3) интегрируемо, получим, что Bt(q,
р)^(е{'-'°)0"В)(д, p) = B(q({), pit)). (1.2.5)
20 Гл. 1. Квантоьая теория
п
Предложение 1.2.1 (теорема Лиувилля). Пусть йц = п dpt dqt -
(=i
мера Лиувилля в 86, а
у (дН_ _д_____дН_ _д__\
н Z-I V dpi dqt dqi dpi ) '
i = l
Тогда оператор DH формально кососимметричен в пространстве L2{SB, d|x), а
оператор еЮн формально унитарен.
Замечание. Мы говорим, что оператор формально кососимметричен, если для
любых функций F, G & {SB)
<DhF, ^)L2(dv.)~ (F, DHG)LAd[ly
Таким образом, на множестве Со° {95) cz L2 {95, d\i) сопряженный оператор
D*H = ~DH. Для того чтобы усилить этот результат,
т, е. установить унитарность etDfI, следует решить технический вопрос об
интегрируемости уравнения (1.2.3) и о существовании и единственности
экспоненциального решения eiL>H. Этому вопросу посвящена обширная
литература, и мы его здесь обсуждать не будем. Заметим только, что
унитарность еЮн имеет место при некоторых ограничениях на функцию V{q).
Доказательство. Для произвольных функций F, Q е С" интегрирование по
частям дает
5 7(ОяО) 4, - - 5 -вроъ - ? (й)
i
я, так как выражение в скобках обращается в нуль, D* = -D на пространстве
Со°°- I
Другая формулировка теоремы Лиувилля состоит в том, что мера Лиувилля d\i
инвариантна относительно классической динамики, определенной
гамильтонианом Н. С помощью якобиана преобразования {q, p)->{q{t), p{t))
это формулируется так:
Предложение 1.2.2. Пусть для каждого начального условия существует
единственное решение уравнений Гамильтона; тогда
d{q{t), p{t))/d{q, р)=а 1
и, таким образом, объем произвольной области фазового пространства
инвариантен относительно потока, порожденного этими решениями. Точнее,
если <%Qcz35, а 9Вt = etDHSB0, то
ц {SBа) = jj d[i = { d\i = ц {9Bt). set
1.2 Классическая механика 21
Эквивалентную формулировку динамики наблюдаемых можно дать, используя
скобки Пуассона наблюдаемых В и С:
п
{В, С} = ? (WqtB • VPiC - Vp.B ¦ vq.c). (1.2.6)
i =i
Скобки {•, •} задают на алгебре наблюдаемых структуру алгебры Ли.
Заметим, что канонические скобки Пуассона равны
{pt,pi}=0={gi,gi}, {qi, р/}=6///. (1.2.7)
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed