Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку эти скобки равны константам, они в силу уравнений (1.2.3) не
меняются со временем. Далее, {Я, В) - -DHB, и, следовательно, уравнение
(1.2.3) может быть записано в виде
dBt/dt - - {Я, В}. (1.2.8)
Предполагая, что ряд сходится, получим
оо
В, = е(*-Мдяв= ? (*-*о)"-{Я, {Я, ... {Я, В} ...}}. (1.2.9)
п= О
В квантовом случае автоморфизм алгебры наблюдаемых B^Bi лежит в основе
так называемой гейзенберговой картины квантовой механики (динамики
Гейзенберга), а предел этой динамики при Н -*• 0 приводит к формуле
(1.2.9).
Помимо наблюдаемых другими важнейшими объектами изучения являются
состояния. Состоянием классической системы служит любая точка (а, Ь)
фазового пространства, причем значение наблюдаемой В в этом состоянии в
момент времени to равно Bt, (а, Ь). В классической статистической
механике обычно рассматривают более широкий класс состояний, каждое из
которых определяется плотностью распределения вероятностей dp(q, р) на
фазовом пространстве, так что
jjdp(<7, р)=\, dp (q, р) ^5 0. (1.2.10)
Классические - точечные - состояния, которые можно рассматривать как
распределения вероятностей, сосредоточенные в одной точке, называются
чистыми состояниями. Они имеют вид
dp(q, p) = 8(q-а)8(р - b)dqdp.
При заданном состоянии р каждой наблюдаемой В сопоставляется некоторое
число р(В) - ее среднее значение:
р(В) = jj B(q, p)dp(q, р). (1.2.11)
Для упомянутых выше классических состояний р(В)=В(а, Ь).
22 Гл. I. Квантовая теория
Таким образом, динамику можно рассматривать не только к а г. изменение
наблюдаемых, но и как изменение состояний. Пусть is момент времени имеет
место состояние р. Определим состояние р< так, чтобы для любой
наблюдаемой В выполнялось равенство
р,(Я) = р(Я,)- (1.2.12)
Поскольку оператор Он формально кососимметричен, то
dPt(q, р) = (е~(*~'о) dp)(q, р) = do (q (- /), р(-/)). (1.2.13)
Такая точка зрения на динамику в квантовой механике носит название
шредингеровой картины. Переход к пределу при 7г-> 0 в уравнении
Шредингера приводит к формуле (1.2.13).
1.3 Квантовая механика
Классическая физика оказывается непригодной при изучении атомов и
молекул. Например, атом водорода состоит из двух частиц: ядра - протона с
зарядом -j-e и массой тр и электрона с зарядом -е и массой те. Ядро
тяжелое, mp/me 2000, и относительно небольшое: радиус протона примерно в
10_3 раз меньше радиуса атома. Согласно классическим представлениям, под
действием притягивающего кулонова потенциала V(r) - -е2/г электрон должен
был бы вращаться вокруг протона подобно тому, как Луна под действием
гравитационного притяжения вращается вокруг Земли. Однако в таком случае
движущийся с ускорением заряженный электрон должен был бы непрерывно
излучать энергию, что привело бы к разрушению атома.
Первоначальной задачей квантовой механики было объяснение устойчивости
атомов и молекул и выяснение причин, по которым частоты излучения света
возбужденными атомами принимают дискретные значения. Успех квантовой
механики в предсказании атомных и молекулярных спектров явился
грандиозным достижением науки двадцатого столетия. Теперь нет никакого
сомнения в том, что квантовая механика дает истинное описание явлений
природы. В этой главе будут сформулированы в виде постулатов основные
принципы квантовой механики без каких бы то ни было попыток обосновать их
или вывести. Мы предпочитаем рассматривать классическую механику (§ 1.2)
как предел квантовой механики при Й->0. Постулаты разделены на основные
(помеченные буквой Р) и те, которые справедливы в ограниченном классе
теорий.
Постулат PI. Чистыми состояниями квантовомеханической системы являются
лучи в некотором гильбертовом пространстве Ж (или единичные векторы с
произвольной фазой).
Как и в классическом случае, указать чистые состояния кваН' товой системы
- это все, что можно о ней сказать.
1.3 Квантовая механика 23
Представление о состояниях как о лучах в гильбертовом пространстве
приводит к вероятностной интерпретации квантовой механики. Рассмотрим
физическую систему в состоянии 0; тогда вероятность ее пребывания в
чистом состоянии % равна |<0, %>|2. Очевидно, что 0 | <0, х>
|2 < 1 •
Заметим, что, хотя фаза вектора 0 физически несущественна, относительная
фаза двух векторов 0! и 02 уже важна. Другими словами, если |а|=1, то
|<а0, %> [ не зависит от а, а вот |<0!-|-а02, х) I зависит. Поэтому
удобнее всего рассматривать чистые состояния просто как векторы
гильбертова пространства, а нормировать их лишь в конкретных вычислениях.
Постулат Р2. Наблюдаемыми в квантовой механике являются самосопряженные
операторы в гильбертовом пространстве Ж. Среднее значение наблюдаемой В
для системы, находящейся в состоянии 0, равно
Ев(В)= <0, В0>/<0, 0>. (1.3.1)
Примеры наблюдаемых: гамильтониан (энергия), импульс, координата
(частицы).
Заметим, что введение "статистических смесей" в квантовую механику
приводит к квантовой статистической механике. Обычно система квантовой
статистической механики описывается при помощи положительного оператора р
