Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ломаными с вершинами в точках разбиения. Другая и более глубокая
интерпретация интеграла в (1) получится, если представить его в виде
интеграла
t
-( V [х (т)1 dx
\ в 0 dSrt(x(r)) (2)
Х(х)
по так называемой мере Фейнмана Ф"t - конечно-аддитивной комплексной мере
в пространстве траекторий (формально определяе-
стемы,
6 Предисловие редактора перевода
/ 11 л: |2 rfx I Д dx (т)). Это представление инте-
0 J ie|0, t\
грала Фейнмана хотя уже и корректно, но требует при обращении с ним
определенных предосторожностей и оговорок: так как мера Фейнмана t
определена на цилиндрической алгебре множеств и имеет неограниченную
вариацию, интеграл (2) разумно определяется лишь для достаточно гладких
функций V. Однако вскоре после работы Фейнмана М. Кац [1951], по-видимому
первый из математиков оценивший достоинства нового подхода, по аналогии с
представлением (2) написал следующее представление для ядра Gt{y 1, г/г)
оператора Ct = ехр{-tH}, t > 0:
t
- ^ V (jc (x))dt
Gt {U\i У-i) = J e 0 dWt, (3)
{X (T): X (0) = t/t, x(t)=y2}
где интегрирование происходит по хорошо известной вероятностной мере
Винера Wt в пространстве траекторий. Представление (3), которое формально
может быть получено из (2) переходом к "мнимому" времени (в евклидову
область, как сказали бы сейчас), значительно проще и удобнее в
применениях, чем интеграл (2). Представления вида (2) и (3) известны ныне
под названием формул Фейнмана - Каца.
Позднее, в середине 50-х годов, функциональные интегралы были введены в
квантовую теорию поля: как и в случае квантовой механики систем с
конечным числом частиц, эволюционный оператор Ut = exp{itH} для
квантового поля был записан в виде интеграла, аналогичного интегралу
Фейнмана (1):
?/,= ^ elsw Д dtp(x), (4)
где 5(ф) - действие для классического поля. Формула (4) оказалась еще
труднее для содержательной интерпретации, чем формула (1), так как в ней
ни левая, ни правая часть не имела точного определения: гамильтониан Н не
был корректно построен (как самосопряженный оператор в подходящем
гильбертовом пространстве) ни для одной модели взаимодействующих
квантовых полей, а интеграл справа, как и в случае (1), представлял собой
только символ, которому не удавалось дать точного определения, подобного
(2) или (3). Тем не менее символическое выражение (4) долгие годы имело
(и поныне имеет) большую эвристическую ценность: над ним, руководствуясь
интуицией и здравым смыслом, удобно совершать различные математические
операции, как над настоящим интегралом, получая в результате физически
осмысленные ответы,
мои как ехр
Предисловие редактора перевода 7
Новое содержательное понимание функционального интеграла (4) появилось в
начале 70-х годов благодаря, в частности, работам авторов этой книги. В
этих работах для модели квантового бозонного поля с полиномиальным
самодействием в двумерном пространстве-времени (так называемой Р(ф)2-
модели) - после перехода в евклидову область, т. е. к "мнимому времени" -
определялся интеграл (4) (по аналогии с определением (3)) как интеграл
^e~^PW:dx dWQ, (5)
где W0 - гауссова вероятностная мера в пространстве 9"(Е2) обобщенных
функций двух переменных (задаваемая "евклидовым"
действием 50(ф) = ^ [(Уф)2 + mф2] dx свободного бозонного поля), а
^:P(q>)-.dx- определенным образом перенормированное классическое
взаимодействие ^ P(q>)dx. Это определение интеграла в
правой части (4) позволяет определить и левую часть, т. е. гамильтониан Н
бозонного поля, что явилось существенно новой и важной чертой построений
Дж. Глимма и А. Джаффе.
Их работы, как и большинство работ этого направления, своим появлением
обязаны глубокому влиянию идей К- Симанзика и Э. Нельсона. В работе Э.
Нельсона (развившего предположения Симанзика) показано, что задачу
построения квантового поля в пространстве Минковского Mv+1 можно свести к
задаче построения марковского случайного поля в евклидовом пространстве
Ev+[, инвариантного относительно группы движений этого пространства.
Именно такое поле и было построено в работе Дж. Глимма и
А. Джаффе для случая Р(ф) 2-модели- как возмущение гауссова
(марковского) поля в пространстве Е2 с распределением W0 с помощью веса
ехр{-^:Р(ф):^л:|. При этом само построение меры
для Р(ф) 2-модели идейно и технически оказалось очень схоже с построением
предельной гиббсовой меры в статистической физике: в этом случае
"свободная мера", соответствующая системе невзаимодействующих частиц,
возмущается больцмановым множителем ехр{-?>#/}, где Hi - энергия
взаимодействия частиц. В течение 70-х годов на этом пути были построены
случайные марковские поля, соответствующие и другим моделям квантовой
теории поля, хотя для наиболее интересного случая - модели
взаимодействующих квантовых полей в четырехмерном пространстве-времени-
такого случайного поля построить пока не удалось.
Центральным местом этой книги является изложение конструкции меры для
полей Р(ф)2 (часть II). Это построение предваряется общеобразовательным
