Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Примером может служить уравнение состояния идеального газа
р = NkT/V.
(2.1.1)
2.1 Введение 45
Уравнение состояния есть следствие межмолекулярных законов взаимодействия
и служит основой термодинамики и механики сплошных сред. Оно позволяет
находить линейные и нелинейные "функции отклика", используемые в
термодинамике и нужные для вывода уравнений механики сплошных сред.
Статистическая механика занимается строгим выводом законов термодинамики
и уравнений состояния.
Статистическая механика занимает определенное место и среди
математических дисциплин. В каком-то смысле ее можно считать частью
теории вероятностей или, более общо, частью анализа. Статистическая
механика изучает системы, состоящие из бесконечно большого числа частиц,
поэтому ей соответствует анализ в бесконечномерных пространствах.
Физическое состояние каждой элементарной компоненты системы (например,
частицы) описывается математически как точка некоторого конечномерного
пространства Xi, например
Xi = R\ S* = Z2^{-\, +1}, Z", S\ SU(n). (2.1.2)
Таким образом, статистическая механика изучает вероятностные меры,
определенные на прямом произведении пространств состояний элементарных
компонент:
ОО
X = XXt. (2.1.3)
i=i
Обычно задаются меры d\n на Xi, и тогда простейшая мера на X является
бесконечным произведением этих мер:
оо
d\i = X d\i^. (2.1.4)
"=i
Эта мера не очень интересна, так как она соответствует ситуации, при
которой нет взаимодействия между частицами (элементарными компонентами
системы). Однако мера d\i имеет определенный смысл, так как возникающие в
статистической механике меры обычно близки к произведению мер.
В общем случае распределение вероятностей для состояний i-й частицы
зависит, вообще говоря, от состояния /-й частицы, / Ф i.
Для того чтобы система проявляла статистическое поведение, не-
обходимо изначально ограничить эту зависимость конечным числом частиц -
соседями i-й частицы. В физической терминологии это равносильно
рассмотрению короткодействующих устойчивых взаимодействий. Для описания
подобной ситуации рассмотрим
/7
меры d]iw, определенные на X{n)=XXi. Эти меры ф,(п) не явля-
(=i
ются уже произведением мер, а, как правило, представляются в виде
d\x^ = e~u X d\it, i-1
(2.1.5)
48 Гл. 2. Классическая статистическая механика
где U - энергия взаимодействия, которая может определяться, например,
парным потенциалом взаимодействия V:
U=ZV(Xi-x,), (2.1.6)
К/
причем V задан одним из перечисленных выше способов (1)-(4) (см. также
(2.3.1)). Предположим, что существует предел
d\i = lim (2.1.7)
tl-> оо
Меры, изучаемые в статистической механике, как правило, имеют вид
(2.1.7), и в этом смысле предел (2.1.7) является подходящим обобщением
(2.1.4).
Существенное различие между конечномерным и бесконечномерным случаями
состоит в том, что в случае бесконечномерного пространства мера d\i и,
следовательно, связанные с нею физические величины могут быть разрывными
функциями от параметров задачи. При этом наличие разрывов не какая-то
неприятная патология, а одно из ключевых характерных качеств теории.
Действительно, имеются физические основания ожидать, что
эти величи-
ны- кусочно-аналитические функции параметров (температуры, внешнего поля
и т. д.). Разрывы этих функций образуют в пространстве параметров
множество коразмерности 1 и соответствуют физическому явлению,
называемому фазовым переходом. Граничные точки множества разрывов
образуют множество коразмерности 2, называемое критической поверхностью.
В частном, но наиболее распространенном случае, когда система описывается
двумя параметрами, критические поверхности коразмерности 2 становятся
точками - отсюда термин критические точки. Поведение физических систем в
окрестности критических точек играет большую роль в экспериментальных
исследованиях, и одна из задач теории - дать количественные предсказания
в этой области.
2.2 Классические ансамбли
Чтобы конкретизировать приведенные выше рассуждения, касающиеся меры d\i,
рассмотрим N одинаковых классических частиц с массой т, находящихся в
области Лей3 и взаимодействующих с помощью парного потенциала V = V(qi-
q/). Предположим, что частица, достигающая границы <?Л, упруго отражается
от нее. Кроме того, предположим, что частицы находятся во внешнем поле с
потенциалом Ф(<7г)- Таким образом, jV-частичный гамильтониан равен
N
HN (q, р)=*н (q, р) - ? р\ +Ф (?,)} +1 ? V {qt - ?,), (2.2.1)
г-i 1Ф1
<7 "fa ....P"(Pi..............Ри)'
2.2 Классические ансамбли 47
Классическое пространство состояний одной частицы Xi = A(r) R3 называется
одночастичным фазовым пространством. На простран-
N
стве состояний системы XN = X Xt важную роль играет мера
i =1
Лиувилля
N
^^Лиувилль === d\lN JI dpi d(Ji, (2.2.2)
1=1
эта мера, как было показано в предложениях 1.2.1-2, инвариантна под
действием я-частичной классической динамики, определенной гамильтонианом
Я.
Основополагающий постулат Гиббса, относящийся к равновесным
распределениям состояний изолированной механической системы, гласит: на
