Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ансамбль возникает, например, при рассмотрении химических реакций или
диффузии вещества через проницаемую мембрану. В этих случаях резервуар, в
который погружена система, является как тепловым (энергетическим)
резервуаром, так и резервуаром частиц. Определим
ОО
кан == Z^ ^Цкан, ЛГ* (2.2.20)
ЛГ-0
Здесь d\iкан, jv означает канонический ансамбль:
^кан,N~~We 13 N (2.2.21)
a z- параметр, называемый активностью. Параметр z связан с другим
параметром h, называемым химическим потенциалом, соотношением z = еРЛ.
Другими словами, вместо числа частиц N в качестве параметра используется
химический потенциал на одну частицу, -h. В случае когда энергия имеет
вид (2.2.1), потенциал -h может быть включен в нее как аддитивная добавка
к Ф. Кроме того, если в случае, когда энергия имеет вид (2.2.1), мы
ограничимся рассмотрением средних от функций F(q), не зависящих от
импульсов р, то интегрирование по р приведет к эффективному значению
активности z = (2jtm/p)3/2epft. Для большого канонического ансамбля
величина
оо оо
N=О iV=О
- ? Ж 5 (2-2.22)
лг=о лг=о
называется большой статистической суммой. Среднее число частиц равно
W = (2.2.23)
N- 1
В большом каноническом ансамбле плотность
р= lim ((N}I\A\) (2.2.24)
$.3 Модель Йэинга и решеточные поля 53
и давление
р = р 1 lim (| Л | 11пЗ)
Л*"1
(2.2.25)
являются функциями |3 и h. Эта важная зависимость между р, р, Р и h
называется уравнением состояния. Для идеального газа (но не для других
систем) р|3 = р и уравнение состояния определяется единственным
соотношением р = р(|3, h).
Большой канонический ансамбль отличается от канонического ансамбля при
конечном |Л|, однако ожидается, что в предельном переходе к бесконечному
объему Af^3 оба ансамбля порождают одинаковые термодинамические
функции1). В частности, термодинамические функции канонического и
большого канонического ансамбля связаны преобразованием Лежандра по
переменной р и сопряженной переменной h:
2.3 Модель Изинга и решеточные поля
В принципе твердые тела и жидкости, так же как и газы, описываются
статистическими ансамблями, введенными в предыдущем параграфе, при
условии, что задан некоторый потенциал взаимодействия между частицами
V(qг - qj). Из этого описания должно, вообще говоря, следовать, что при
подходящей температуре в системе возникает локальная решеточная структура
с преобладанием дефектов (в случае жидкостей) или глобальная
кристаллическая решетка с изолированными дефектами (в случае
кристаллических твердых тел). Однако до сих пор нет доказательств
существования такой решеточной структуры, строго математически
вытекающего из исходных принципов и предположений о некоторых свойствах
потенциала V. Более того, даже если бы удалось получить доказательство,
начинать таким образом изучение твердых тел было бы неудобно. Вместо
этого мы вводим решетку непосредственно в фор мулировку задачи. Точки
(узлы) решетки можно представлять себе как равновесные положения атомов
или групп атомов в кристалле. С другой стороны, в приложениях к квантовой
теории поля решетка Zd вводится для аппроксимации континуума Rd. В обоих
случаях для i е Zd переменная е Xi определяет состояние в точке г.
Например, может означать напряженность поля, ориентацию магнитного
момента или какую-то дискретную переменную,
р(Р, h) - sup {pA - а (Р, р)}
р
(2.2.26)
а(Р, р) == inf (pA - р(Р, h)}.
h
*) Здесь следует сделать то же уточнение, что и в случае эквивалентности
между микроканоническим и каноническим ансамблями (см. предыдущее
примечание) . - Прим. ред.
54 Гл. 2. Классическая статистическая механика
например принимающую значение О или 1 в зависимости от наличия или
отсутствия примеси в точке i <= Zd.
Для определенности мы выбираем в (2.1.2), (2.1.5)
Х, = Я\ di4 = e-p^dl,/^e-p dh, (2.3.1)
где dt.- мера Лебега, Р - ограниченный снизу полином.
Допускается также предельный случай
d^ = e,lli a-|.(ld+-^+l(l")-d|t, (2.3.2)
где 8+1 (!) = 8(! + !)¦ Нас интересуют кооперативные (или иногда
антикооперативные) явления, т. е. такие явления, при которых некоторое
событие, случившееся в точке i, а именно то, что переменная в точке i
приняла некоторое значение ?<-, благоприятствует (или мешает) появлению
близких значений переменных h для точек / е Zd, соседних с i. Чаще всего
это достигается следующим способом. Пусть А - оператор вторых разностей
на Zd. После суммирования по частям получаем
<5, А!) ^ - Е d Е (g<+.v - ^)2- (2-3-3)
ieZ v=l
где ev - единичный вектор v-ro координатного направления, а (-, ¦) -
скалярное произведение в k(Zd). Обозначим А<?л оператор вторых разностей
на Zd с граничными условиями Дирихле на границе дА области A cz Rd
(определение и свойства А^л см. в § 9.5). Пусть
rfn = ер &^)/2 П d[ih (2.3.4)
d\i= lim (d\iK!\ • (2.3.5)
Л * Rd 4 J
Предельная мера d\i зависит от |3 (~ 1/Т = (температура)-1) и от
коэффициентов Р. В случае (2.3.1) мы получаем решеточное поле, а в случае
(2.3.2) - модель Изинга с внешним полем h. Предел (2.3.5) существует
