Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
всегда и, вообще говоря, является разрывной функцией р и Р. Модель Изинга
используется для описания примесей в металлах (сплавов). Она применяется
также для качественного описания магнетизма, хотя классическая модель
ферромагнетизма, принадлежащая Гейзенбергу (Xt - S2 в (2.1.2)), ближе к
реальности. Большое число подобных моделей с различными решетками,
пространствами состояний Xi и мерами d\xi возникает при исследовании
примеров из физики твердого тела.
Заметим, что решеточные модели (2.3.5) описывают совершенные кристаллы, в
которых дефекты кристаллической структуры не допускаются. В природе
совершенные кристаллы встречаются
2.4 Методы разложений в ряд 65
редко, и их физические свойства резко отличаются от свойств несовершенных
кристаллов. Действительно, дефекты кристаллической структуры в обычных
реальных материалах определяют их механические свойства (твердость,
хрупкость, усталость и т. д.), см. [Ashcroft, Mermin, 1976]. Некоторые
считают, что в квантовой теории поля могут иметь место подобные явления,
а именно что конфигурации поля, далекие от области минимума действия или
от равновесных конфигураций (мешки, вихри, инстантоны и т. д.), могут
обладать подавляющей мерой d\i и, следовательно, определять основные
черты квантового поля. В случае квантовой теории поля все конфигурации
(близкие или далекие от равновесия) учитываются ансамблем (2.3.5).
Влияние конфигураций, близких к равновесным, анализируется с помощью
теории возмущений; вклад от других конфигураций, не охватываемых теорией
возмущений, требует более глубокого анализа.
2.4 Методы разложений в ряд
Кластерными разложениями в статистической механике называют различные
разложения в сходящиеся ряды для изучения мер йц, задаваемых либо
формулой (2.1.5), либо формулой (2.3.5). Главный член разложения
соответствует случаю невзаимодействующих частиц, т. е. произведению мер;
последующие члены учитывают взаимодействие. Разложение сходится в области
малых взаимодействий. Такого рода методы весьма полезны при исследовании
решеточных полей, моделей Изинга, евклидовых квантовых полей (см. часть
III). В этом параграфе мы проиллюстрируем метод на примере большого
канонического ансамбля (2.2.20) для неидеального газа. Главный член в
этом разложении соответствует идеальному газу.
Мы покажем, что давление р, определяемое выражением (2.2.25), является
гладкой функцией от 2 и р в области малых г или малых р. Малые значения р
соответствуют высокой температуре, а малая активность отвечает малой
плотности. Таким образом, будет доказано, что в газе при малой плотности
или высокой температуре не происходит фазового перехода (т. е. газ не
переходит в жидкое состояние). Использованные при доказательстве
разложения позволят описать все свойства газа в этой области параметров.
Мы покажем, что
оо
$P=Hlbnzn, (2.4.1)
= 1
где Ъп выражаются в явном виде как интегралы по ^3(п-0. Ряд
(2.4.1) называется рядом Майера. Мы докажем сходимость этого ряда,
откуда будет следовать аналитичность р при малых (3 иди ц.
у(П)
/л - п!
56 Гл 2. Классическая статистическая механика
Сделаем два предположения:
II V ||Li = ^ | V (?) | dc, < оо (короткодействующий потенциал); (2.4.2а)
существует положительная константа В, такая, что
X V (?j - h) ^ - пВ (устойчивость). (2.4.2Ь)
s * 1 < I < j < n
Предложение 2.4.1. Ел является целой функцией от z.
Это утверждение доказывается подстановкой (2.4.2Ь) в (2.2.20). Оно
отражает тот факт, что в конечных системах нет фазовых переходов. Однако
это утверждение становится совершенно бесполезным при переходе к
пределу Afi?3. Для того чтобы контролировать этот предельный
переход, необходимо воспользоваться тем,
что различные частицы почти независимы. Для этого прологарифмируем Ел и
поделим на |Л| в (2.2.25). Пусть
П
НехрГ"Р Е (2.4.3)
дп \ I < i < j < п / i = 1
так что
На = I Znzf. (2.4.4)
В дальнейшем мы построим величины Ка так, чтобы выполня-лось соотношение
у(п) _ i 7S-{i) i)
Za ~ Zj • (2.4.5)
l<;<ra
Предложение 2.4.2. Пусть выполнено (2.4.5) и 1/СлЧ <|е0("');
тогда
Зл = ехр^? znK\^. (2.4.6)
Замечание. Из (2.4.6) следует, что
Ьп = lim [А Г1К(а] (2.4.7а)
являются искомыми коэффициентами ряда (2.4.1). Мы покажем, что
I
Ъх = 1, &2 =-¦§-$* $ ^(6)6-0^(c). (2.4.7Ь)
О
Доказательство. Умножив (2.4.5) на tizn и просуммировав по п, получим,
что
Так как ехр^]^ гпК
2.4 Методы разложений п ряд 57
удовлетворяет этому уравнению, мы получаем
(2.4.6). |
Рекуррентное уравнение (2.4.5) отвечает последовательному отщеплению
одной частицы от остальных. Это уравнение и величины Ка играют
центральную роль в построении кластерного разложения. Для вывода
уравнения и нахождения в явном виде коэффициентов Ка введем параметры s,-
, Os^s/^l, линейно интерполирующие взаимодействие между нулевым (sj = 0)
и полным взаимодействием (s, = l). Параметр S/ приписывается
взаимодействиям V- ?*) между всеми частицами с номерами i и k, i ^ / < k.
Он изменяет взаимодействие следующим образом: для i ^ / < k
