Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
как и в (3.1.12), взяв // = R3, tj = -t/2 -f- jt/n, j - 0, 1,2, ..., n,
получим, что
(ядро e~tHo)(q, q') =
Здесь Aqi = q(ti) - q(ti-i), qo - q, qn - q', Ati = t/n. После
формального перехода к пределу при п->оо подынтегральное выраже-
т
вне принимает вид ехр
ds
Однако ни константа
ТТ 'tp
(2nt/n)~3n/2, ни мера 11 dqt не имеют предела при п->оо. Можно
i
доказать, что мера Винера множества траекторий, удовлетворяющих условию
Гёльдера с показателем ^ 1/2, равна нулю. Аналогично exp -j ^<7 (s)2dsj =
0 почти всюду по мере Винера, т. е.
ни один из трех множителей в (3.1.15) не имеет предела при /г->оо. Тем не
менее их произведение под интегралом в (3.1.15) имеет предел, который
совпадает с определенной выше условной мерой Винера dWq, q>.
3.2 Формула Фейнмана - Каца
Рассмотрим две однопараметрические группы операторов etA и etB,
действующие в гильбертовом пространстве Ж, инфинитезимальные генераторы
которых равны соответственно А и В. Если операторы А и В ограничены, то
при помощи формулы Ли из двух данных групп можно построить группу ei(A+BK
Теорема 3.2.1. Для ограниченных операторов А и В
ел+в - ijm (еА1пев1п)п. (3.2.1)
оо
Доказательство. Пусть С = е^А+в^/я, D - еА^пев^. Мы покажем, что если п->
оо, то || Сп - Dn || -*¦ 0. Действительно,
I] п - I
m- 1
I сп - Dn || = ? Ст (С - D) Dn~
_ < const -п IIС - Dll,"! (3.2.2)
т=0
где использована оценка || С ||, || D ]| ^ exp ^ const1^1. Далее,
||С - D||<const -п~\ (3.2.3)
так как при разложении в степенной ряд С - D - e(,4+s>/n - g^/nee/n члены
Ну. левого и первого порядков взаимно уничтожаются. Подстановка (3.2.3) в
(3.2.2) завершает доказательство. Щ
8.2 Формула Фейнмана - Каца 65
Если Л и В не ограничены, доказательство формулы (3.2.1) требует
дополнительных предположений. Мы сформулируем одну из теорем для этого
случая.
Теорема 3.2.2. Пусть операторы Н0, V ограничены снизу и существенно-
самосопряжены, а оператор Н = Я0 + V также существенносамосопряжен. Тогда
е~н = s. lim (e~H^ne~vln)n. (3.2.4)
П~> оо
Мы установим формулу Фейнмана - Каца
/ </2 \
Wtiq, Я') = (ядро e~tH)(q,q') = ^ expl - \ V {q {s)) ds)dWtq,
-'/2 ' (3.2.5)
для Н - Н0 + V - - ту A + V- Чтобы упростить доказательство, будем
считать потенциал V(q) достаточно регулярной функцией. Для потенциалов
более общего вида формулу (3.2.5) можно получить при помощи подходящего
предельного перехода. Заметим, что при вещественном V из формулы Фенмана
- Каца следует, что 3Ct{q, q') > 0.
Теорема 3.2.3. Пусть V(q) - непрерывная ограниченная снизу вещественная
функция на Rd, а оператор Н = -5- А + V существенно-самосопряжен. Тогда
ядро 3?t(q, q') оператора e~tH выражается формулой (3.2.5).
Замечание. Для V G Lp(Rd), р > d/2 из неравенства Соболева следует, что V
является возмущением оператора А, удовлетворяющим условию Като1), и,
таким образом, Н существенно-самосопряжен. Если же V - ограниченный снизу
полином, то Н также существенно-самосопряжен.
Доказательство. По теореме 3.2.2
e~tH= lim (е~ш°lne-tvln)n, (3.2.6)
П-> ОО
где?/0 = - 4"^' Из следствия 3.1.2 вытекает, что
ядро {e-tH^e~tvln)n (q, q')) = J ? V (<? (- \ + -?))] dW{ q,.
(3.2.7)
В силу (3.2.6) ядро в левой части (3.2.7) при п -*¦ то сходится к Ж, (q,
q') в смысле сходимости обобщенных функций. Далее, так как V(q(s))
интегрируема по Рй-
*) То есть выполнено неравенство II Vq> II а || Дф II + 6|| ф || для
любой функции ф s D( Д) с Lz(R}), где 0<а<1 и 6 > 0. Это неравенство
влечет за собой самосопряженность Н = -Д +V (см. [Reed, Simon, 1972-1979,
v. 2]). -" Прим. ред.
66 Г л. 3. Формула Фейнмана - Каца
ману, то в пространстве траекторий имеет место поточечная сходимость
п </2
тЕЧ'(-"2 + т))- \ V(,(.))л.
/-1 -42
Поэтому подынтегральное выражение в правой части (3.2.7) сходится
поточечно
Г Г 1
к exp I - \ V (q (s)) ds I. Так как функция V(q) ограничена снизу, то
подын-
L - i/2 J
тегральное выражение равномерно по п ограничено сверху константой,
которая интегрируема по dW^ q,. Применяя теорему Лебега о мажорированной
сходимости, получаем, что (3.2.7) сходится к (3.2.5) при п-*-°о.
Рассмотрим далее две модификации формулы Фейнмана - Каца (3.2.5). В этом
параграфе мы выбираем гамильтониан Я0 более общего вида и получим более
общий класс ядер я')
и более общую меру на пространстве траекторий, чем мера Винера. В § 3.4
мы установим формулу, выражающую в виде интегралов по пространству
траекторий среднее по основному состоянию ?2 гамильтониана Я.
Первое обобщение заключается в замене Я0 =-^-А эллиптическим
оператором второго порядка Я0 = --тг Д + F (то, что
Я0 является эллиптическим оператором второго порядка, следует из
положительности ядра оператора е~ш°). Мы могли бы, например, заменить
X?(g, q') ядром Х<(<7, q'), задаваемым формулой
(3.2.5). Однако часто бывает желательно, чтобы сам оператор Я0 приводил к
точно решаемой задаче и индуцировал гауссову меру на пространстве
траекторий, наиболее удобную в вычислениях. Типичным примером является
