Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
V(li ~ h)-ysiV(li - U) = (1 - Si) -0 + SlV(li - Ь), (2.4.8a) для i, k ^ /
И / < I, k к (g, - tk)->V (h - ы = (1 - s,) V (h - w + s,V (h - Ik).
(2.4.8b)
Заметим, что потенциал (2.4.8) является выпуклой суммой потенциалов Vik-
Каждое слагаемое, а следовательно, и их выпуклая сумма удовлетворяют
условию устойчивости (2.4.2Ь):
inf I Vuih-l^-nB.
5 1 < l < j < n
Выполнив указанное преобразование для всех s/, 1 ^ j ^ п-1, получим n-
частичную потенциальную энергию
^(n)K-i)= I St ...s^Vih-h),
КККп
где ff"_i = {sb ..., sn-i}. Следующее предложение очевидно. Предложение
2.4.3. \V(n) (a.^i) ^-пВ.
Перейдем теперь к выводу уравнения (2.4.5). Для произвольной функции
Z(^(art_i) по теореме Ньютона - Лейбница имеем
2(п> (<г"_, = 1) = z(n\sx = 0, S2 = . . . = = 1) +
d
d.S\
Zm (su S2 = s"_, = 1). (2.4.9)
В частности, пусть
П
2(п)К_.) = -^г ^ exp (-$Ww (cr"_j)) dl,^ (2.4.10)
i = 1
При Si = 0 величина 2(я) распадается на два множителя, причем При s2= ...
=s"_i = 1 один из сомножителей равен Za-1). Поэтому, если положить /Сл=1
А |, то первое слагаемое в (2.4,9) даст
58 Гл. S. Классическая статистическая механика
член с i = 1 в (2.4.5). Второе слагаемое в (2.4.9) можно переписать так:
1
^"i-yexpf-P ? I'll,-5,)-
о АЛ ^ 2<i</<n
п
-р ? s^-i/ЛП^-
2 </<rt / i = l
Мы воспользовались симметрией между последними п-1 частицами и заменили Е
^ (ii " ?/) на (/г - 1) V7 (^ - ?2).
2 < / < п
Как и выше, применим теорему Ньютона - Лейбница к переменной s2.
Слагаемое, отвечающее значению s2 = 0, s3 - ... ... = s"-i = 1, равно
\У&-Ъ)е^'Уа1~1з>^1^2)2(А-2> (2.4.11)
О \ Л! /
и дает член с i
Таким же образом слагаемое, отвечающее s; = О, задает (11п)Кл#Г,) в
(2.4.5) и определяет К\.
Для нахождения явного выражения для /С(д введем граф (дерево),
определяемый целочисленной функцией т)(/), 1 = 2................t,
которая удовлетворяет условию 1 ^ т) Вершинами этого
1 2 3 3 1 2
• •---------• "-------•------•
i)(2) = 1; 71(3) = 2 т](2) = 1; т](3) = 1
Рис. 2.1.
графа являются числа 1, 2, ..., i, а ребрами - нары (ц(1),1), 1 - 2, i,
как показано на рис. 2.1. Определим также функцию
г-1
/(¦>Ъ CTi_i) = П s/_is/_2 ••• ^тИЖ)' считая, что при г)(/1) == I
произведение (пустое) si~isi~a ... = 1.
- 2 в (2.4.5), где 1
= (2.4.12)
2.4 Методы разложений в ряд 59
Предложение 2.4.4. Пусть
^=1^), (2.4.13а)
Л
^Сл (л) - ~ 5 dlf(t\, or,-,) Д у (|/+1X
А' '=>
Xe-^<'>(0;-i). (2.4.1ЗЬ)
Тогда выполнено уравнение (2.4.5).
Доказательство такое же, как для случая Ка\ Ка, и мы его опускаем.
Предложение 2.4.5. Пусть выполнены предположения (2.4.2). Тогда
\кТ\<$1-'\\У\(-1ет^\К\.
Замечание. Таким образом, основной результат о сходимости ряда Майера
(2.4.1) при справедлив для | z | ^ (е|ЗВ+1|3 || V
Ik,) *.
Доказательство. Мы покажем, что
2$ (Ч. */_,)< в'"1- (2.4.14)
л
Эта оценка и устойчивость ЙР<'>(сгг-0 (предложение 2.4.3) завершают
доказательство. Прототипом неравенства (2.4.14) послужило неравенство
1
^ dsvesv <; ev. (2.4.15)
о
Левая часть неравенства (2.4.14) ограничена выражением
••• 5 **.7 (л. CTt-i)exp( ?s(_i
¦л о и m = i '
Используя последовательно (2.4.15) при повторном интегрировании, получаем
(2.4.14). И
Литературные ссылки
[Friedman, 1962], [Huang, 1963], [Uhlenbeck, Ford, 1963], [Ruelle, 1969],
[Lanford, 1973], [Thompson, 1980],
Глава 3
Формула Фейнмана-Каца
3.1 Мера Винера
В гл. 1 мы рассмотрели уравнения квантовой механики, однако лишь в редких
случаях можно получить решения этих уравнений с помощью известных
специальных функций или же записать их спектр в явном виде. Поэтому
вычисления в квантовой механике выполняются приближенными методами,
например нахождением нескольких первых членов формального степенного
ряда. Разложение в ряд по константе связи известно как теория возмущений,
а ряд по постоянной Планка называют классическим приближением.
Для того чтобы получить качественную картину поведения решения, а также
оценить погрешность, очень полезно иметь интегральное представление
решения. Его дает формула Фейнмана - Каца. Эта формула для широкого
класса потенциалов определяет ядро q') оператора е~'н, т. е.
(е-'"0) (</)=$ ЯГ, (</, q')Q{q')dq',
даже в том случае, когда y?t не может быть выражено через элементарные
функции. Идея Фейнмана заключалась в том, чтобы найти такое представление
для ядра унитарной группы е~нн. Для классической траектории q{s), где s
означает время, рассмотрим действие
f/2
S*(-t/2, t/2) - J 2?(q(s), q(s))ds. (3.1.1)
-f/2
Здесь 9? - лагранжиан, полученный из гамильтониана
Н(р, q)=\p*+V(q) (3.1.2)
при помощи преобразования Лежандра
S (q, q) = sup [qp - H (p, q)] = ~q2 - V (q). (3.1.3)
p
Пусть W(q, q', t) - множество непрерывных траекторий q(s), принимающих
фиксированные значения q(-t/2)=q и q(t/2)-q' на концах отрезка [-1/2,
t/2]. Формула Фейнмана такова:
(ядро e-iiH)(q, q') = const ^ dq(s). (3.1.4)
W(q, q', t) -t/2<s<il2
Эта формула часто и успешно применяется физиками, поскольку она удобна
при формальных преобразованиях. Однако
