Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
существенно-самосопряжен.
Доказательство. Теорема утверждает, что 2D плотно в Ж Заметим, что eitH:
3) -*¦ 2D и, в силу соотношения (19.3.4), 2D с ^ [~| 3D (Я")^. Значит, 2D
- существенная область определения для оператора Н, а по теореме 19.3.1 и
для оператора ф,Ч (f). |
19.4 Коммутаторы
В этом параграфе мы докажем четыре технических утверждения, относящихся к
коммутаторам и самосопряженности операторов. Пусть 0 ^ Н = Н* -
положительный самосопряженный оператор,
- его существенная область, состоящая из С°°-век-
торов. Обозначим R{h) = {Н + (X + I)/)-1, так что R = R(0) - = (# + /)-1.
Пусть А - билинейная форма, определенная на области SDy^SD, а 8 (A) =
[iH,A] будем тоже рассматривать как билинейную форму на той же области
определения.
Теорема 19.4.1. Пусть форма Rl,28(A) R1/2 ограничена. Тогда для любого
положительного целого п билинейная форма Rn/2ARn^2 ограничена в том и
только в том случае, когда ограничена ARn. Кроме того,
|| ДП/2Ддп/2 - ARn\\ < n\\Rx'4 (А) Я>/2||.
Доказательство. Достаточно рассмотреть разность
ARn - Rn,2ARn,2 = [a, Rn>2\Rnl2 = Ril2[A, R112] fl<2"-/-i>/2t
372 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Сомножители Ru2 и /-i)/a ограничены сверху тождественным оператором /, а
коммутатор можно оценить с помощью интегральной формулы Коши (см.
СО
[Kato, 1966, р. 282]) Я1/2 = л-1 ^ X~w R(X) dX. Поэтому
О
СО
[A, Rm] = - In 1 ^ R{X) 6 (Л) R (X) X-'/2 dX,
О
со
что, в силу тождества я-1 ^ (Я, -J- I)-1 = 1, ограничено по
норме вели-
0
чиной ||Я1/2б(Л)Я1/2||.
Теорема 19.4.2. Если формы Rl/2&(A)Rl/2 и Rn/2ARn/2 ограничены, то
билинейная форма А однозначно определяет оператор (также обозначаемый А)
на области 2). При этоль, если форма А вещественна, то оператор А
симметричен.
Доказательство. Этот результат следует из теоремы 19.4.1 и теоремы Рисса
о представлении. |
Теорема 19.4.3. Пусть А - симметрический оператор, заданный на области
2D. Если при этом Rx,2b(A)Rxl2 и ARn ограничены при некотором п ^ 1, то
оператор А существенно-самосопряжен на любой существенной области
оператора Нп.
Доказательство. Так как оператор ARn ограничен, то Й5(Л) 35(Нп), и сущест-
венную самосопряженность достаточно доказать на области 3!>(Нп). Пусть 6
е е25(Л*), %еЗ)(Нп)\ тогда R (Я,)"0 е 3)(Нп) с ЗЬ(А) и справедлива
цепочка равенств
(X, AX"R(Xy$) = Хп (R(X)nA%, 0) =
= (AX°R(X)"x, 0) + <[*,"/?(*,)* А]%, 0) =
= (х, ЯЛК(Я)М*0> + {[X"R(Xy, А]х. 9). (19.4.1)
В последнем выражении перейдем к пределу при Я->оо. Поскольку XnR(X)n -
*¦1 в сильном смысле, можно вычислить предел первого слагаемого,
воспользовавшись тем, что XnR(X)rlA*Q -*¦ А*в. Коммутатор во втором
слагаемом равномерно ограничен при Я->-оо, поскольку
П- 1
|| [A, XnR(X)n] || Я(Я)]Я(Я)гг-'-1[|<
г=о rt- 1
Хп II я Мг+1 6 (Л) R (X)n~r II <0(1).
г=о
Следовательно, в силу соотношений (19.4.1),
lim Л^Я (Я) 0 = Л*0 + lim [ЯПЯ (Х)п, Л]*0. (19.4.2)
\->оо \-*оо
Доказательство будет завершено, если мы покажем, что второе_ слагаемое в
сумме (19.4.2) равно нулю. Отсюда будет следовать, что 0е(r)(|), а также
самосопряженность оператора Л.
В силу приведенной выше равномерной оценки для нормы, достаточно по-
19.4 Коммутаторы 373
казать, что коммутатор [Л, А/1/?(Л)/'] сходится к нулю на плотном
множестве 2Ь(Нп). Пусть Ф е SD(Hn). Тогда
[VflM", Л]*ф = ЛЛ"Я(Л)"1|; - Vfl(*,)\4i|>.
Второй член в правой части сходится к -Лт|), а первое слагаемое, если его
записать в виде ARnXr'R(X)r,(H + 1)п\|), к Ля|). |
Теорема 19.4.4. Пусть операторы А, В, 6(Л) и 8(B) подчиняются условиям
теоремы 19.4.3 при п=\, а операторы АВ и ВА определены на области 3) и
\A,B~\SL> - 0. Тогда А и В коммутируют.
Доказательство. Пополнительно мы предположим, что операторы Ri/28(X)R[/2
и XR ограничены при X - А, В, б(Л) и 8(B). В качестве аппроксимации
оператора А возьмем А х - XR(X)^2AR(X)i/2. Утверждается, что в сильном
смысле Л^-э-Л на области 3). Так как 2D с |~| SD (Нп), то любой вектор 0
е имеет
П
вид 0 = /?г|з. Поэтому
Л*,0 = ЛлЯф = ARXR(X)i> + X [R(X)112, A] RR(X)$.
Поскольку оператор AR ограничен, a XR(X) -*¦ 1 в сильном смысле, то
первый член сходится к Л^-ф = Л0. Второй исследуется так же, как в
доказательстве теоремы 19.4.1, а именно
СО
Л1/2 [R (А)1/2, л] = X[l2in~[ ^ R (ц) б (Л) R (ц) 1/2 ф.
о
Итак,
со
||Л1/2[Я(Л)1/2, Л]/?1/2||<Л1/2я-'^ ц~1/2(Л +ц+ 1)"1/2йц
0
-> 0 при Я -> оо,
что и утверждалось.
Согласно теореме 19.4.3, 3) является существенной областью определения
i A j /
оператора А, поэтому е в сильном смысле. Теперь покажем, что
[е'А^, е'В^\ -> 0. Для этого сначала установим тождество
[Лъ Вх\ = - iX2R (Xf2 [б (Л) R(X)B- б (В) R (X) A] R (X)'1'2. (19.4.3)
Все выкладки, которые необходимо провести для доказательства этого
тождества, справедливы для векторов, принадлежащих множеству
R(X)~ll20. Это
множество плотно, потому что SD является существенной областью оператора
R(X)~^2 (например, в силу теоремы 19.4.3 с А = R(X)~il2 и п = 1). В этой
области верно тождество R(X)3'2[A, B]R(X)112- 0, которое получается с
