Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
20.2 Суммируемость по Борелю
Функции Швингера ^Р(ф)2-моделей неаналитичны no 1, в точке X = 0,
поскольку при X < 0 нарушается устойчивость. Однако все характеристики
этой модели аналнтичны в секторе, по форме напоминающем пирог с
вырезанным куском. Этот сектор с углом 0 > я изображен на рис. 20.1.
Кроме того, функции Швингера обладают в нуле (со стороны положительных X)
односторонними правыми производными любого порядка, и, как показано в
работах [Dimock, 1974, 6], эти производные можно вычислить по теории
возмущений в бесконечном объеме. Элементы 5-матрицы также допускают
разложения в асимптотические ряды теории возмущений [Osterwalder, Seneor,
1976], [Eckmann, Epstein, Frohlich, 1976].
На самом деле функции Швингера ф4-модели могут быть восстановлены по
коэффициентам разложения, вычисленным по теории возмущений, с помощью
суммирования по Борелю [Eckmann, Magnen, Seneor, 1975]. Это означает,
что, хотя r-точечная функция Швингера в ф4-модели имеет расходящееся
разложение:
оо
ЗД)~?аяЛ" (20.2.1)
/г" 0
(поскольку | ап\> 0(п\)), тем не менее преобразование Бореля
оо
h(t)~Y "tj- in (20.2.2)
гг=> 0
сходится вблизи точки t = 0. Более того, функция h(t) имеет аналитическое
продолжение на все значения t > 0, так что существует интеграл
ОО
Sn (X) = J e~*h (Xt) dt. (20.2.3)
о
Из недавних работ, относящихся к преобразованию Бореля, см. [Sokal,
1980]. Можно показать, что Sn{Ъ) совпадает с ф^-функ-
Рис. 20.1. Известная область аналитичности по комплексному параметру X в
ХР (ф) г-теории.
386 Гл. 20. Дальнейшие направления
цией Швингера, построенной в гл. 11. Разложение в степенной ряд для массы
т(Х) также суммируемо по Борелю [Eckmann, Epstein, 1979b].
Результаты, относящиеся к суммируемости по Борелю функций Швингера модели
фг> обобщены и на случай размерности d = 3 [Magnen, Seneor, 1977].
Элементы S-матрицы для этого случая также имеют асимптотическое
разложение по степеням ^[Constan-tinescu, 1977]. Открытой остается
проблема, применима или нет техника пересуммирования к квантовым полям
(Яф4- Ф2Ь-
20.3 Евклидовы ферми-поля
Множество конфигураций скалярного евклидова поля ф, рассматриваемого в
этой книге, совпадает с пространством "траекторий", по которым происходит
интегрирование в формуле Фейнмана - Каца. Используя обозначения § 6.1,
имеем
t
V (ф (s))ds
{А, е^(н+1,)Л)=59Л(ф)Л(ф)е 0 ^(Ф),
или e~*(H+l,' = \e 0 T(t)J .
Обобщение этой формулы на ферми-поля содержится в работах [Osterwalder,
Schrader, 1972а, 1973а, Ь]. Оказалось, что это обобщение, даже на
формальном уровне, содержит в себе нечто новое. Поясним некоторые
существенные моменты этого обобщения.
Во-первых, поле тр, зависящее от вещественного времени, и его сопряженное
гр заменены независимыми антикоммутирующими евклидовыми полями ipi и
i|)2. В результате евклидово поле, отвечающее нулевому моменту времени,
строится не в Ш, а в другом пространстве.
Во-вторых, так как введенные евклидовы поля антикоммути-руют и принимают
значения из грассмановой алгебры, скалярное произведение в евклидовом
пространстве не задается уже интегрированием по положительной мере d\a.
Вместо этого оно определяется как положительное состояние (среднее) р на
алгебре полевых операторов, порожденной элементами гМ/)> 'Mg'). Для
полиномов Р(трь трг) выполнено р(Р*Р)^0. Это состояние и определяет
интеграл.
И в-третьих, наконец, типичные взаимодействия, входящие в выражение для
плотности оператора энергии, такие, как ФФ" X Для обычных ферми-
полей принимают веще-
П
ственные значения. В евклидовом пространстве они представ-
20.4 Потенциал Юкавы 387
ляются выражениями 't>2Y5'ti> И 'lIWl4li'V и т. п., и, следо-
П
вательно, евклидово действие не вещественная функция, а принимает
значения из грассмановой алгебры.
Тем не менее на этот случай можно обобщить аксиомы OS 0-4 и доказать
формулу Фейнмана - Каца
ехр[- t(H + V (г|з, гр, qp))] = ^exp j^- j V (^ (s), ife (s) Ф(s)) ds j
T.
(20.3.1)
Гамильтониан Я + V, определенный формулой (20.3.1), действует в
гильбертовом пространстве Ж, описывающем квантовую систему. В случае
когда взаимодействие V (г|з, 1|з, ср) формально вещественно, определение
(20.3.1) приводит к симметрическому оператору Я V, что согласуется со
стандартной канонической конструкцией.
20.4 Потенциал Юкавы
Предметом изучения в квантовой теории поля были также и взаимодействия
между фермионами и бозонами, в частности взаимодействия Юкавы
Я.г|зг|зф и Я.ф^5г|зф
соответственно скалярное и псевдоскалярное. В размерности d - 2 эти
модели приводят к логарифмически расходящейся перенормировке массы.
Подробности из оригинальных работ по конструкции этих моделей и
соответствующую библиографию можно найти в обзоре [Glimm, Jaffe, 1971Ь].
Для этих моделей также были развиты евклидовы методы, и это привело к
более совершенной трактовке полей Юкавы в размерности d = 2. Оценки для
случая конечного объема содержатся в работе [Seiler, 1975], а построение
предела при переходе к бесконечному объему (с использованием равномерных
