Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
производную дг ^ F dq>s, которая, согласно правилу Лейбница и
(9.1.33), есть не что иное, как
<5г^ф4= ? (18-6-3)
яе^(Г) \Ysrt /
18.6 Ковариационные операторы 359
Оценки величин д^С позволяют оценить сумму X • Как и в гл. 7,
я&УЧГ)
мы установим, что в оценку входит множитель т^0(|у|), обеспечивающий
сходимость кластерного разложения.
Предложение 18.6.1. Пусть 1 ^ q ^ с", а то достаточно велико. Существуют
такие константы Ki(q,y) и Ks(q), не зависящие от то, что
I c>vC 1U^ (Д/1 х Д/2) ^ /С4 (9, V) та 1 Yl/2g ехр (- у)-) ,
(18.6.4)
? П Kdq, Y)<^w|r|. (18.6.5)
(Г)
Доказательство. Воспользуемся представлением (18.6.1) величины oYC р вид?
интеграла Винера. Доказательство состоит, во-первых, из оценки меры
Винера множества траекторий ш(т), пересекающих ребра беу в некотором
фиксированном порядке, и, во-вторых, комбинаторного подсчета числа
способов, которыми можно ввести указанный порядок.
Пусть L(\)-'семейство всевозможных линейных упорядочений на mhojk§-стве
ребер 6 е у. Для каждого le.L(y) обозначим Ж(1) множество винеродь;|
траекторий, пересекающих все ребра 6 е у, причем порядок, в котором ребра
пересекаются в первый раз, совпадает с /. Тогда
2
О < д^С (s) < J е~ЩТ J Д (l - %l (a)) dWTxy dT = ^С0> (18.6.6)
О y
оо ^
дуС0(х, у) = Y 5е_тбГ S dWlydT• <18-6-7)
leL(у) 0
Пусть Ь\, ..., 62, ... - элементы у, упорядоченные согласно I. Пусть
Ь2 - первое из ребер, не имеющее общего конца с bl = blt b2,
Ь3 - первое из ребер по-
сле b'2, также не касающихся Ь2, и т. д. Положим
ау- = dist (6y+i, 6у), 1 < /
и определим величину
m = ?а,
1=1
Условимся считать, что если ребра Ь2 с указанными свойствами не
существует, то |/| =0.
Пользуясь введенными обозначениями, оценим член в (18.6.7), отвечающий
!ei(у), т- е-
2-г
К (/, лг, у) - J е т°Г J dWTxy dT.
W(t)
Применим индукцию по 3, т. е. по числу ребер b^ и воспользуемся строго
марковским свойством. Строго марковское свойство винерова процесса (см.
[МсКеап,
360 Гл. 18. Кластерные разложения
1969, р. 10]) означает, что момент первого достижения
n = inf {t 0: to (t) е Ь{\
есть измеримая функция на траекториях со, а процесс s-vm(s- т,) есть
условный винеров процесс с началом на Ь\.
Пусть V - линейное упорядочение множества {b[, ..., bj}, отвечающее I, а
/[- упорядочение ребер {b'2, ..., б/j, также определяемое порядком I.
Тогда
°° 2
К (/. х, у)<;К (Г, х, у) = \ e~m° [ dWly dT. (18.6.8а)
О Ж(1')
Положим
Г (/', /,) = {со е= Ж (Г): т, (<0)</,Ь
v (Г, /,) = J dll^.
ж а', и)
Тогда \(l', t\)-монотонно возрастающая функция причем
ОО
^ dWTxy = v (t', оо) = v (/', оо) - v (/, 0) = ^ dv (/', f,).
<i) 0
Подставляя это в (18.6.8а), получаем, что
ОО ОО
К (I, х, у) < J J ехр (- т20Т) V (/, *,) dr. (18.6.8b)
о о
В силу строго марковского свойства, интеграл по траекториям при t 5= т;
может быть переписан как интеграл по условной мере Винера при условии,
что траектория начинается в Ь\. Чтобы записать это явно, введем
обозначения
Г((,) = {аеУ: т,(№)<(,), v (/,, х) = ^ dWx.
Здесь Ж - множество винеровых траекторий со(-), удовлетворяющих
условию
м(0)=х, a dWx - мера Винера на Ж. Обозначим | = g(to) = и (т.
(м)) е Ь\
точку первого пересечения с ребром bt. Это измеримая функция от м в силу
измеримости Т|. Тогда из строго марковского свойства следует тождество
dv(0,) = J dWl^ydv(tu х).
WU')
Из этого тождества получаем, что
dv (l', f1)<dv(/1, х) sup ^ dW^~y'.
^Ь'
Подставляя в (18.6.8.b) это неравенство, а также тождества Г = Г - Xi +
Tj и dT "= d(T - Tt), получим, что
18.6 Ковариационные операторы 361
Первый сомножитель ^ ехр (-т$т:1 ((r))) dWх убывает экспоненциально с
ростом
расстояния d(x, bi), поскольку он не превосходит ^ ехр (- т\о) dWx, где 0
- время первого пересечения бесконечной полосы (шириной d(x, b 1)),
отделяющей х от Ь\. Интеграл ^ ехр (-m\<i)dWx приводится к одномерному
интегралу Ви-
-m\d
нера, вычисленному в работе [МсКеап, 1969, р. 27], и равен е . Это
показывает, что при / = 0, 1 ядро К(1, х, у) обладает требуемым свойством
экспоненциального убывания.
Проведем теперь индукцию по J. Второй сомножитель в (18.6.8с)
экспоненциально убывает с ростом | |. Сочетая эти две оценки,
получим, что
К (I, х, у) ^ К^е~т<|1г1 при |/| ^ 1. При |/| =0 воспользуемся тем
обстоятельством, что
0 < 4г (sb + (1 - sb) Xb) = 1 - xl < 1-asb
Отсюда вытекает, что 0 ^ С ^ С0, и поэтому достаточно воспользоваться
оценками § 7.2. Можно получить аналогичную оценку, основанную на
использовании метрики d(j, y), определенной в (18.6.2). Взяв среднее
геометрическое этих двух оценок, получим, что при 26 < 1
!|dvC||L (4/ Хд,)< X! MYle~mo|i |/(2+26)е~'М(А Y)/<2-a>( (18.6.9)
feZ. (y)
если та достаточно велико. В случае, когда |/| 1 для всех leL(y)> мы
можем добавить в правую часть (18.6.9) множитель (увеличивая при не-
обходимости 6). Если \l\ < 1 для некоторого I, то \1\ = 0, и в этом
случае |yI 4. При |yi ^4 и d(j, y) ^3= 1 мы снова можем считать, что в
правой части (18.6.9) присутствует множитель Y увеличивая, если нужно, 6.
