Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 147

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 187 >> Следующая

j/Y}Vsn д
364 Гл. 18. Кластерные разложения
Доказательство леммы 18.7.1. Пусть N0(A) - число точек Xu I ^ < п,
расположенных в Д. Количество слагаемых, возникающих в результате /И(Д)
дифференцирований в Д, не превосходит
(JVo(A) + ])(N0(A) +P+ 1) ... (No(A) + p(M(A) - 1) + 1).
Поскольку N0 (A) ^ ^ No (Д) = n, то, применяя неравенства (a + ft)!^ (a-
f-
A
+ &)"(&!) и (ab)l ^ aab(b\)a, мы получаем для полного числа членов,
возникающих в результате дифференцирований <3/с><р(г/), следующую оценку:
М < П ррМ (д) (ЛГ0 (А) + 1 +РМ (Л))ЛМЛ,+ ' Ш (Д)0Р.
д
Далее, если п(А)-число отростков, выходящих из А после дифференцирования
(как это определялось в § 12.5), то
и (А) ^ ЛМД) + (р-1)М(Д),
откуда и получаем оценку для п(Д)!.
Доказательство леммы 18.7.2. Сумма ^ экспоненциально убывает с ростом
расстояния, поэтому достаточно убедиться, что
__ ___ const Y, d (j, у)
П(м(д)!)г<ПеС0П81|у1е Y
А Д
где константы не зависят от т0, у, {/у} и л.
Напомним, что величина d(j, у), определенная в (18.6.2), представляет
собой сумму расстояний от некоторого ребра беу до квадратов с номерами
/i, у и 2, у. Следовательно, существует не более 0(1)г2 значений у (при
фиксированном разбиении я), таких, что
А, = Д, v = 1 или 2, (18.7.4)
v,v
и d(j, у) г. По определению существует М(Д) контуров у, удовлетворяющих
(18.7.4). По крайней мере для половины из них (для наиболее протяженных
контуров) выполнена также оценка
М(Д)1/2 ^ const d(j, у) + const, поскольку они не перекрываются.
Следовательно,
М (Д)3/2< const ? ({d (/, y): ^/VjY = Д1 + const),
Y
и для завершения доказательства осталось воспользоваться неравенствами П
(ЛГ (Д) !)Л<ехр|г ? м (д) 1пМ(Д)|<
ехр (0^?{М(Д)1+б: Л"(А)>0}^ < ехр {°(?ад у)^ jexp (0(|Г|)). |
Методы этой главы были в дальнейшем усовершенствованы так, что их можно
применять к исследованию других взаимодействий и других функций Швингера
(связных, неприводимых, и т. п.), а также в теории фазовых переходов.
Литературные ссылки
[Glimm, Jaffe, Spencer, 1973, 1974], [Spencer, 1974b], [Glimm. Jaffe,
Spencer, 1976a], [Spencer, 1975]. См. также гл. 14 и 20.
19.1 Реконструкция квантовых полей 365
Глава 19
От функциональных интегралов к квантовой механике
19.1 Реконструкция квантовых полей
Основной целью этой главы является проверка аксиом Вайтмана и Хаага -
Кастлера, а также доказательство теорем 6.1.5-6. Предполагается, что
задана мера d\K на пространстве 2)'(Rd), которая удовлетворяет аксиомам
OS 0-3 гл. 6. В гл. 6 мы построили евклидово поле ф, где операторы
действуют в пространстве & = L2 (&', d\i), и гильбертово пространство Ж
квантовомеханических состояний как пополнение пространства <%+/J?.
Обозначим У банахово пространство, полученное пополнением С" (Rd) по
норме
II/II = 11/11^ + 11/11^. (19.1.1)
Так как характеристический функционал 5{/} меры d\i предполагается
непрерывным в нормах пространств L\ и Lp (см. (6.1.5)), то получаем
Предложение 19.1.1. Если справедливы аксиомы OS 0-1, то функционал 5{/}
продолжается по непрерывности до целой аналитической функции на У, а
моментные функции Sn меры d\i продолжаются до непрерывных полилинейных
функционалов на пространстве УХ ••• X У-
Доказательство. Для доказательства аналитичности функционала S {/} при f
sf воспользуемся теоремой Витали: последовательность аналитических
функций, равномерно ограниченных и поточечно сходящихся на компактном
множестве К сг С", сходится к аналитической функции на этом множестве.
Непрерывность моментов S" на пространстве У X • • • X У следует, как и в
доказательстве предложения 6.1.4, из интегральной теоремы Коши. |
Замечание. Как видно из предложения 19.1.1, мера d\i сосредоточена на
пространстве 9"{Rd). Поэтому на протяжении этой главы мы будем
рассматривать интегрирование по пространству 9".
Пусть У (0,7) с У обозначает подмножество тех функций, носители которых
принадлежат интервалу (0, 0- Определим М(/)з=-= 11/iii +11/Hi ' Напомним,
что 9(0, t) - подмножество функций
в пространстве ^носители которых принадлежат интервалу (0, t). Кроме
того, 9+ = 9(0, + оо). В гл. 6 мы определили каноническую проекцию ~
пространства ё>+ на Ж, а именно : <8%-к ->-(??4при которой операторы 5 на
8+ превращаются & операторы^ на пространстве^ в соответствии с формулой
(6.1.12).
366 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Предложение 19.1.2. Предположим, что справедливы аксиомы
OS 0-3 и функция /еУ(0, 0вещ. Тогда проекция ~ переводит
функции <р (f)r и e'Pff) в операторы, действующие в гильбертовом
пространстве Ж, областью определения которых является множество е~ш{<э +
П Leo)''. Более того,
|| (еФ (ffe-'H'IKe* <2/ >/2, (19.1.2)
И(ф(/)ГГ е-'н1|<(с||/||)гг1', (19.1.3)
где с < оо и q - (р - 1) /р.
Замечание. Важный частный случай оценки (19.1.3) имеет вид 5 ф (!Y dn | =
I (Q, (ф (f)T Q> I < (с II / IIУ (г \у.
Доказательство. Согласно предложениям 10.5.4 и 6.1.4, операторы (фг)~ и
(еф) определены на плотном множестве. Для доказательства (19.1.2) положим
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed