Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
сильная) непрерывность и, следовательно, существование самосопряженного
инфинитезимального оператора H(g), удовлетворяющего оценке (19.2.3).
Возьмем f = -h (r) xo.t', тогда на пространстве Ж (r) Ж
Г1 (S (t) -/)=/-' (e~tH - 1) + /"'ИЛ е~Ш +
+ /-1 (еФШ _ / _ ф (/))"' е~ш. (19.2.4)
Первое слагаемое в правой части при /->0 стремится к -Н. Согласно
предложению 19.1.3, второе слагаемое стремится к -Ф(Л). Предел третьего
слагаемого равен нулю, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть Л
е^+ П Используя элементарное неравенство
ОО
ех - 1 - х < const {х2 + xN) +
i>NI2
получим, что для любого N ^ 2 j Г1 (е-&нА, (el> - / - Ф (ПГ <Г<6+*> нХ) |
<
< г 11И 1||го \ I еФ и> - 1 - <Р (/) I dy. < const /"1IIA |||^J ^ ф
(/)2 d\i +
ОО
+ $Ф(/)^Ц + ? J Ф(/)2/ф]. (19.2.5)
1>N! 2
Первое слагаемое в правой части при t -> 0 стремится к нулю в силу
предложения 19.1.4. Выбрав N > р, получим, что и остальные слагаемые в
(19.2.5) при t -0 стремятся к нулю в силу неравенства (19.1.3) и оценки
||/|| = = \\h\\ (t tl/p) 0(tt/p). Этим заканчивается доказательство
слабой дифференцируемости и справедливости тождества (19.2.2) на
пространстве Ж (r) Ж. Согласно предложению 19.1.3, оператор е~&нФ (h)e~bH
ограничен. Поэтому оператор (19.2.2) по непрерывности продолжается на
пространство Же X 5S?6-
Следствие 19.2.2. Билинейные формы Ф(/г) и Н (h) можно продолжить по
непрерывности на область 3) (#1/2)Х (#1/2), причем так,
что их продолжения удовлетворяют соотношениям (19.2.2-3). Кроме того,
||(Я + /)-1/2ф(/г) (Я + /)-'/2||< const||/i||. (19.2.6)
Доказательство. Из формул (19.2.2-3) при 1 с(||Л|| + 2Р"Ч1Л||Р)
вытекает, что
на пространстве Ж& X Ж& справедливо соотношение
±Ф(1г) ^ c(\\h\\ + 2p~l\\h\\p) (Н + /),
или
±ф(й) = ±2||&||Ф(Л/2||Й||) < 2с||Л||(Я + /), и эта оценка продолжается по
непрерывности. I
370 Г л. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
19.3 Самосопряженные поля
Мы определим полевые операторы Ф(/) для вещественных значений времени и
установим их свойства как операторов на пространстве Ж. На множестве
3)(Н1/2) билинейная форма
ф(А, t) = eitH<b(h)e-itH (19.3.1)
непрерывна по t, поэтому можно определить так называемое поле Минковского
ФмШ=$Ф(Р, t)dt, (19.3.2)
где f{t) (х) = f (х, t) ^ 9 [Rd~l) для функции f^9(Rd).
Теорема 19.3.1. Предположим, что функционал S{f} удовлетворяет аксиомам
OS 0-3. Тогда для произвольной функции fe ^9(Rd)Beuit билинейная форма
(19.3.2) однозначно определяет са-мосопряжнный оператор срM(f) на
пространстве Ж, который, кроме того, существенно-самосопряжен на любой
существенной области оператора Н. Более того,
1 (Я + /Г1/2Фм (/) (Я + /)-1/21<const J I! p\\di, (19.3.3)
Фм (/): ?){№)-+&{№-'), (19.3.4)
[1Н, Фм (f) ] = Фм (df/dt) на (r)(Н2). (19.3.5)
Доказательство. Оценка (19.3.3) для tpM(f) как билинейной формы
вытекает из
следствия 19.2.3, соотношение (19.3.5)-из неравенства (19.3.3). Остальные
утверждения вытекают из приведенных ниже теорем 19.4.1-3.
Следствие 19.3.2. Функции Вайтмана
Wn(fu /")^<й,фм(/1) ... Фм(/л)С2> (19.3.6)
существуют и являются обобщенными функциями умеренного роста (т. е.
принадлежат пространству 9' (Rnd)).
Доказательство. Так как HQ = 0, то ?2 е j~j 3) (Нп), т. е. Q является С"-
век-
п
тором для оператора Н. В силу соотношения (19.3.4) и индукции по /, моном
Фм (fi)... фм (f,)Q тоже является С"-вектором для Я. В частности,
выражение
(19.3.6) определено и ограничено произведением норм, как это следует из
оценки
(19.3.3). В
Пусть 3) с^Ж обозначает линейную оболочку векторов вида Фм(/0 •••
фм(/")й, где fj е 9{Rd)Be^.
Теорема 19.3.3. Множество @) плотно в пространстве Ж.
Доказательство. Напомним, что пространство 36 порождено векторами вида
¦~(et(P <f)) = (е^Ф <0)^?2, где f^9+. Используя предложение 19.1.2, можно
без
П
ограничения общности рассматривать только функции вида f = /г/ (r)
а/,
/= 1
где fj - hj (r) а,- е 9 (0, t). Сначала выберем функции а/ так, что t/ е
supp а/,
19.4 Коммутаторы 371
где 0 < ti < t2 < ... < t" < t. Для вещественного числа s определим
вектор а (' ist.H -is /I \ -is ..
J фЛ1(^)е 2) ••• e X
X<TM(fn)Qdtl ... dtn<=2>. (19.3.7)
В силу следствия 10.5.6 и теоремы 19.3.1, 0(s) совпадает с граничными
значениями аналитической функции от s, определенной в подпространстве Im
s > 0. Если функция х ортогональна множеству 2D, то для вещественного s
справедливо равенство (%, 0 (s)) = 0 и, значит, (х, 0 (s = i)) = 0, т. е.
п
0= J <Х, е-г'йф(Л,, 0)Ле-|г'-'21йф(Л, 0)~ ...) Д a, [t,) dt,. (19.3.8)
/=1
Как следует из предложения 19.1.2, выражение (19.3.8) непрерывно зависит
от a j, и, таким образом, равенство (19.3.8) останется справедливым, если
мы сдвинем носители функций а, так, что они будут пересекаться. Поэтому 0
= <Х. (Ф(/Г) " ^>-
Снова воспользовавшись оценкой (19.1.3), можно просуммировать степенной
ряд и получить равенство {%, (е'ф й) = 0. Следовательно, j = 0 и
множество 2D всюду плотно. Щ
Следствие 19.3.4. Оператор q>M, рассматриваемый на области 2D,
