Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?_e<p(f) и подсчитаем величину Мп, определенную формулой (10.5.4). Так
как все носители функций /<2/-1>( и (9f) (2/-о/, произвольно сдвинутых по
времени, не пересекаются (при фиксированном t и j = 1, 2, ...), то из
оценки (6.1.5) следует, что Мп Поэтому неравенство (19.1.2) есть
следствие теоремы
10.5.5.
Чтобы доказать неравенство (19.1.3), определим для а>/, г, еС
Я - - г'Х (ш^(2у-1)< + zi (0/)(2/-i) <)• !=¦ '
ТОГД.:
м'п =
/¦=1
dwf dzf lSte}
g=0
119.
Выражение (19.1.4) оценим при помощи интегральной формулы Коши
(2г)! \2"
dw j
dZj
и,2:Г+1 Z2:r + l ,/ = 1 I I
где все интегралы берутся по окружности радиуса 4е-1 с центром в начале
координат. Верхней оценкой для M(g) на этой окружности будет 2пМ (4е-1/),
так как слагаемые, входящие в выражение для функции g и отвечающие разным
значениям /, имеют непересекающиеся носители. Поэтому
".<(Л!^1П.) (±)г ("^) .7,.
Для того чтобы получить нужную оценку, сначала заменим е на б|/|. Тогда
М" ^ ехр(се-1) (е | /)г - г!. Выбрав е= (ср/г)1^, получим неравенство
(19.1.3). Д
Напомним, что пространство Жй определялось как Жь (см. (10.5.13)).
е~Ь1,Ж
19.1 Реконструкция квантовых полей 367
Предложение 19.1.3. Существует единственная билинейная форма Ф(Н),
заданная в области (для некоторого 8 > 0) и
удовлетворяющая там (для f = h <8> а) соотношению
<р (h (r) а)" е~tH = ^ (h) Ha(s)ds. (19.1.5)
Более того, для нормы \\h || = || h \\L (цЛ-\) + \\h\\L (цй-\)справедливы
оценки
||е-№Ф (А)е-"" || <IIАII,
(19.1.6)
||e-^(/)e-"+e)"||</Cel|A||||a||v
Доказательство. Согласно следствию 10.5.6, Ф (h (g> at)'' является
билинейной формой на произведении X Она бесконечно дифференцируема
как
функция т при 0 ^ т < 6/4, 8' ^ / + 6/2. Из оценок (10.5.14) и (19.1.3)
получаем неравенство
ф(/г<8)^ "т)~е-б'я <^",бЦЛ]|(||а||Л! + !|а||Лр). (19.1.7)
Воспользуемся тем фактом, что обобщенная функция от переменной s, все
производные которой имеют фиксированный порядок роста, должна быть С"-
функцией от 5. Поэтому на существует билинейная форма Ф(А), удовле-
творяющая соотношению
t
Ф (h (g) a)~ = ^ е вНФ (h) esHa (s) ds
и такая, что для всех векторов 'ф е функция F (s) - <e~sHi|),
Ф(й)е*нг|/) принадлежит классу С".
Улучшим теперь оценку (19.1.7), избавившись от члена||а||^ . Взяв в
качестве а характеристическую функцию %(*,, t2) интервала (th t2)
с: (0, t), t sgj 1
и п - 1, мы сможем записать неравенство
I) е~бЯф (h (r) (6tl - 6,J)~ e~WH J < 2а IIАII-
Проинтегрируем эту оценку по t2 от S\ до s2 = Si + о (б). В силу
равенства
S2
(s2 - s,) fl(i = %iSt, St) + J - bh)dt2
Si
получаем, что
J (h (r) e(i)~ е-6'н [I < (/Го, 6° ("" ') + 2*i. в) II h ||.
Интегрирование по t{ приводит теперь к оценке
|| е~ 6Яф (Л (r) а)~ е~ &'н || < || h || || a ||Li.
Предложение 19.1.4. Пусть справедливы аксиомы OSO-3 и задана функция f =
h(r)%o,t, где Ае(r))^1) - вещественная функция, а
368 Г л. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике %о, < -
характеристическая функция интервала (0, (). Тогда
^ ф(/)2^ц = o(t) при t-*-0. (19.1.8)
Доказательство. Согласно предложению 19.1.2,
^ ф(/)2йц< const +11/И| )•
Для функции f вида / = h (r) Xn, t получаем, что ||/|1л = О (t2'p), и
поэтому
Р
при р < 2 предложение доказано. Однако, как утверждается в аксиоме OS1
(см. § 6.1), р sg 2, причем при р = 2 аксиома OS1 включает дополнительное
условие регулярности: двухточечная функция S2 (х - у) е Ljoc (Rd). Тогда
^ Ф (f)2 dy. = ^ S2 (х - у) / (х) f (у) dx dy.
Переходя к новым переменным ? = (х + у)/2, Г| = (х - у)/2, получим, что ^
Ф Ш2 ^ j < const t | S2 (2r]) h (g + Tj) h (1 - П) I d\ dr\ <
Rd- 1 у Rd~ lx t]
^ о (t) при t -> 0. |
19.2 Формула Фейнмана - Каца
В этом параграфе мы выведем формулу Фейнмана - Каца в пространстве Ж,
пригодную для изучения возмущений оператора Н посредством билинейной
формы Ф(Н), где h^9'(Rd~l)вещ. Мы покажем, что
(е-П?1 (r) *))" e-tH = е-ш<". (19.2.1)
В этой формуле Н (h) обозначает самосопряженный ограниченный снизу
оператор
H{h) = H + Ф(/г), (19.2.2)
где равенство понимается в смысле билинейных форм. Кроме того, мы
покажем, что для вещественной функции h
±Ф (h) ^ const)!/г|1 (Н + /).
Формально можно написать Ф(Л) = ф(/г(r)6)~.
Теорема 19.2.1. Пусть функционал 5{/} удовлетворяет аксиомам OS 0-3.
Тогда левая часть равенства (19.2.1) определяет полугруппу S(t) с
инфинитезимальным оператором H(h), который удовлетворяет неравенству
-с(||А||+2^-М|ЛИ<Я(А). (19.2.3)
Кроме того, при любом 6>0 соотношение (19.2.2) справедливо на
пространстве X
19.2 Формула Фейнмана - Каца 369
Доказательство. Пусть S(t) обозначает левую часть равенства (19.2.1). В
силу предложения 19.1.2, S(t)-ограниченный оператор, причем 115(011^
<ехр(<с(||Л|| + 2''-1||/г||р)). Кроме того, из определения (19.2.1)
следует групповое свойство S(t + s) =S(t)S(s) и равенство S(t) =S(t)*.
Установим теперь слабую дифференцируемость S(t) при /-> О на плотном
множестве в Ж (r) Ж, где Ж = е~&н +{\ Из нее будет вытекать слабая (и
