Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
помощью тех же выкладок, что и соотношение (19.4.3). Из (19.4.3) и
ограниченности операторов Rll28(A)Rll2, AR и т. д. вытекает, что
IIЯ Ия, ?х]Я||<0(Л-1/2). (19-4-4>
Далее, мы утверждаем, что верна оценка
||(Я +/)е'М^|</т, (19.4.5)
где К - постоянная, не зависящая от X. Для того чтобы доказать (19.4.5),
проинтегрируем неравенство
dF(t, \i)/dt KF(t. ji). (19.4.6)
374 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Здесь F (t, ц) = \i2Re~ltA*-R (ц) (Я + l)2R (ц) е'1Ак R. Для
доказательста неравенства (19.4.6) рассмотрим производную
dF ^ = \>?Re~ltA>• [Л (ц) (Я + I)2R (ц), iAk] еR.
При этом
.[/? (Ц) (Я + /)2 R (ц), Мя.] = R (ц)2 (Я + /) б (Ак) R +
+ R (ц)2 (Я + П (- г'в (^л)) Я (ц) + эрмитово-сопряженное выражение = = R
(ц)2 (Я + /) б (Ак) R (Я + ц + /) (Я + /) R (ц) +
+ 7? (ц) (Я + /) {Я (ц) (- гб (Лл)) (H+I)R (ц) +
+ эрмитово-сопряженное выражение.
Далее, прокоммутируем б(Л^) с множителем (Я + ц +/); получится второй
коммутатор. Для первого из написанных выше членов это приведет к
выражению
R (ц) (Я + /) {б (Л*) R + R (ц) гб2 (Ак) RR (ц)} (Я + /) R (ц).
Поскольку, в силу условий доказываемой теоремы,
II б (Лл) R H + II Я1/2б2 (.4Л) Rl'2 || < const,
то неравенство (19.4.6) можно считать доказанным. Заметим, .что
постоянная К не зависит от к, (х и t. Теперь, интегрируя (19.4.6),
получим, что
F(t, ц) е*и|ц2Я(ц)г < еК|<|. (19.4.7)
Так как цЛ!(|х) монотонно возрастает, функция F(t, jx) тоже монотонно
возрастает по переменной ц, и существует предел F(t, ц) f F(t) (см.
[Kato, 1966,
p. 459]). Поэтому образ оператора е1 КR принадлежит области определения
оператора Я +/, откуда и вытекает неравенство (19.4.5). Все приведенные
оценки останутся справедливыми, если А заменить на В.
Наконец, рассмотрим тождество для ограниченных операторов
1 1
- R [е'\ el?4 R=^ds^dt RQ(- s, -tf [Ak, Вл] Q (1 - s, 1 - t) R, (19.4.8)
0 0
t'Mj
где Q (s, t) = e л e л - унитарный оператор. Из оценок (19.4.4-5)
следует,
что I R [е'Л\ elB^\R || < О (к~1/2). Левая часть тождества (19.4.8)
сходится в
-сильном смысле при к->-оо к R\eiA,_eiB\ R, в то время как его норма
стремится к нулю. Значит, операторы А и В коммутируют. 9
Заметим, что тождество (19.4.8) вытекает из следующего тождества для
ограниченных операторов С и D:
1 1 [ес, eD\ - ^ ds esCeDe{-l~s> ^ dsesC [С, eD] е(I~S) с,
о о
откуда
1 • 1
[ес, е°] dtesce^[C, с
19.5 Лоренц-ковариантность 375
19.5 Лоренц-ковариантность
Основной результат этого параграфа - лоренц-ковариантность поля Фм и
лоренц-инвариантность вектора Q. Кроме того, мы докажем аналитичность
функций Швингера для несовпадающих значений переменных.
Теорема 19.5.1. Пусть мера d,\i удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда
существует сильно непрерывное унитарное представление U (g) неоднородной
группы Лоренца 3? на пространстве Ж, такое, что для любого элемента ge^
справедливы соотношения
U(g) Q = Q,
U(g)<PM(f)U(g)~l = Фм(?-7)- (19.5.1)
В терминах поля фм (х) последнее условие принимает вид
U (g) Фм (х) U (g) -1 = фм (gx). (19.5.2)
Предложение 19.5.2. Пусть мера d\x, удовлетворяет аксиомам
OS 0-3, a g-^-V(g) - сильно непрерывное унитарное представление
некоторой группы 'З в пространстве <8, такое, что
V(g)l = l, V(g)&+c&+,
0V(g)=V(g)e, T(t)V(g)=V(g)T(t). (19.5.3)
Тогда операторы U(g), определенные равенством
U(g)A = (V(g)A)~, g<=$,
задают непрерывное унитарное представление 3 в пространстве Ж, такое, что
U(g) Q = Q, eitHU(g) = U(g)eitH. (19.5.4)
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 6.1.3, оператор V(g)
отображает <$ + и Jf в себя, следовательно, U (g) определен на множестве
&+. Более того, U(g) унитарен, так как V(g) коммутирует с 0. В самом
деле,
(U (?) А, В)ж = <ev (g) а, В), = (V (г) ел, в>, = (а, к (gr1 в\ =
= <д {v{g-l)T в)х = (А, и(8~1)в)ж,
поэтому U(g)* = = U(g~l). Это означает, что отображение U(g) про-
должается до представления % на всем Ж. Поскольку V(g) коммутирует с
T(t), то U (g) коммутирует с е~'н и, значит, с eitH. Сильная
непрерывность семейства операторов U(g) следует из сильной непрерывности
семейства V(g), а равенство U(g)Q = Я вытекает из V(g)l = 1. Я
Теперь перейдем к рассмотрению обобщенных функций
Wn(xb ..., Хп) - <Q, q>M(xi) ... Фл1(*п)&>,
Wn(h, t) = <Q, фм (hi, ti) ... ф M(hn,tn)^>, (19.5.5)
которые представляют собой плотности функций Вайтмана
(19.3.6). Для сокращения записи мы используем обозначения
Л ^ {hu • • * j fin} j t =r: {^1, • • • j tn} •
¦376 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Предложение 19.5.3. Функция Wn{h, t) совпадает с граничными ¦значениями в
пространстве 9" {Rn) некоторой аналитической функции Wn{h,z). Здесь Zj =
tj-\-is-h а функция Wn(h,z) аналитична
•в области s/+i - S/> 0, / = 1, 2................п-• 1. Более того, для
tj = 0 и Si < s2 < ... < Sn
Wn{h, is) - Sn (h, s)= ф(/г1; S[) ... qp {hn, sn)d\i. (19.5.6)
Доказательство. Оценка теоремы 19.3.1 показывает, что функция Wn(h_, г)
аналитична при S/+i - S/ > 0, j = 1, 2, ..., п-1. Оценка из следствия
