Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
сумм и функционального интеграла. Первое предложение является чисто
комбинаторным - типа (а)-и позволяет вычислить количество членов,
отвечающих множествам X фиксированной площади |Х|. Во втором и третьем
предложении оцениваются оба сомножителя, входящие в каждый член суммы
(18.2.15). Эти предложения являются "гибридами", поскольку в них
используются оценки всех трех типов.
Предложение 18.4.1. Существует такая константа К\, определяемая чисто
геометрически, что число слагаемых в (18.2.15-16), отвечающих множествам
X фиксированной площади |Х|, мажорируется величиной eKl 1 х I.
Предложение 18.4.2. Существует такая константа К2, не зависящая от X из
замыкания множества (18.1.6), от А и от то, что при малых г и больших /по
и^(Л\Х)/2(Л)|<е^1*1.
Предложение 18.4.3. Существуют такая константа Кг и такая норма |ш| на
пространстве основных функций, что для любых К > О, А и % из замыкания
множества (18.1.6) при достаточно больших т0
е-kv ш ^<рс (s (г)> ds (Г), w
<^е-К[Г[+/С3|Л|| ш|_
{Оценка т0 зависит от К, а |ш| не изменяется при сдвигах аргументов
функции w.)
Замечание. В приведенном выше выражении в качестве подынтегральной
функции может выступать и виков полином, как в
(18.1.8).
Доказательство теоремы 18.8.1. Заменим в предложении 18.4.3 Л на Л П X.
Для
Г
множества X в (18.2.15) имеем X = |J Xt, где г < п, а I/ связны. Более
того,
t=i
г
Г <=. [J Int Xit и поэтому "многие" ребра в Xi принадлежат Г.
Действительно, t=i
поскольку Xt \ТС = Xi связно, то
|Х,| - 1 < 2|ГП Int*d и \Х\ - я^2|Г|. (18.4.1)
Следовательно, можно заменить правую часть неравенства в предложении
18.4.3 на е - ")|| ПрИ некотором выборе К и |о>|. Теорема 18.3.1
непосредственно следует из этой оценки и предложений 18.4.1,
18.4.2. |
Доказательство предложения 18.4.1. Рассмотрим разложение (18.2.15).
Оценим сначала число способов выбора компоненты Xi, содержащей
фиксированной
18.4 Сходимость: основные идеи 355
точку х/, 1 п. Отождествим каждый элементарный квадрат решетки с его
центром, а каждое ребро Ь, лежащее на границе двух квадратов А, А', с
отрезком, соединяющим центр А с центром А'. Итак, мы должны вычислить,
сколькими способами можно нарисовать связный граф, ребра которого
соединяют соседние узлы решетки. Покажем, что каждый такой граф можно
построить, исходя из начальной точки х, и двигаясь вдоль некоторого
ориентированного пути, образованного единичными отрезками, причем каждый
отрезок проходится не более двух раз. В самом деле, если мы будем
рассматривать узлы решетки как острова, а соединяющие их отрезки как
мосты, то это утверждение довольно просто следует из решения знаменитой
задачи о семи кенигсбергских мостах1). Число связных путей длины /,
составленных из ребер решетки и начинающихся в точке X/, не превосходит
А1. Поскольку I ^ 8]Xi\, то Xi может быть выбрано
не более чем 0(1)2 6 I I способами. Число способов выбора Г не
превосходит 4^^поэтому пара X, Г может быть выбрана не более чем
I х | |Х| ТТ >6 I X; | 19 1X1
0(1)2 4 М2 1 11 = 0(1) 2
i
способами, так как число способов выбрать величины |Х,| при заданном |Х|
не превосходит 2^^ Эта оценка завершает доказательство. Случай (18.2.16)
аналогичен рассмотренному. В '
Предложение 18.4.2 будет доказано в § 18.5 с помощью уравнений тнпа
Кирквуда - Зальцбурга. Заметим лишь, что при изменении статистической
суммы изменяется и область взаимодействия, и ковариация (Л\Д->-Л и Свх-
^С).
Обсуждение предложения 18.4.3. Каждый дефференциальный оператор d/dsb в
<3Г действует либо на меру, либо на подынтегральную функцию. Производные
меры могут быть вычислены согласно (9.1.34), в результате чего в
подынтегральной функции появляются зависящие от s ядра C^s). Многократное
дифференцирование приводит к появлению новых слагаемых, отвечающих:
(a) многократному применению функциональных производных <32/<3ср2 в
(9.1.34),
(b) многократному применению операторов дт' к каждому из ядер С' (s) в
(9.1.34).
Каждое дифференцирование d/dsb улучшает сходимость одним из двух
способов. При дифференцировании меры возникает ядро С', причем
(c) С' к С малы в том смысле, что (с,) || С'(х, y)hp<0(m;e),
(с2) 0<С'(х, у) = дьС(х, j/)^e-m"(distu, 6)+dist(j/, b))t (с3) 0 <С(х,
г/)<е-т°1*-Ч | л: - у\>1.
') См., например, Оре О. Графы и их применение. Пер. с англ. - М.: Мир,
1965.-Прим. ред.
356 Г л. 18. Кластерные разложения
Повторное дифференцирование ядра C(s) также улучшает сходимость,
поскольку
(d) дтС мало в том смысле, что
(d,) |<ЭГС(*, у)||Lp<O(/n0'e|ri)>
(d2) 0^<3rC(x, y)^e~m<>dt
где d - длина кратчайшего пути, соединяющего х, у и проходящего через
каждое ребро йеГ. Действительно, из представления ядра (-Л-Ьт2)-1 в виде
винерова интеграла вытекает, что <3rC(s) есть винеров интеграл по всем
путям из х в у, проходящим через каждое ребро b е Г; см. § 18.6.
Неравенство (сг) используется для оценок членов типа (а). В самом деле,
оно показывает, что в лапласиан С'(s) Аф в (9.1.34) существенный вклад
