Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 144

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 187 >> Следующая

вносят лишь точки хну, близкие к Ь. Структура разложения такова, что
каждому ребру соответствует
не более одного лапласиана АФ, и, следовательно, ограниченному множеству
ребер отвечает конечное произведение операторов Аф. Вычисление Ап
приводит к появлению /С(л)<со слагаемых, а повторение этой процедуры для
непересекающихся малых областей, покрывающих в совокупности весь объем,
приводит к появлению e0(vol) слагаемых. Для оценок суммы членов типа (Ь)
применяется оценка (d2). Из (di) вытекает основная оценка /тг^Е,Г|, с
помощью которой устанавливается сходимость.
Когда эти этапы доказательства пройдены, остается получить
оценку функционального интеграла вида ^ Re~lvdcp. Именно,
I 1/2 1/2
j ^ Re~^v (Л) dq> | ^ R2 d<p^ е~2 Re ммл) ,
и каждый сомножитель в правой части представляет собой величину порядка
e0(vol). Теперь с помощью (с3) мы оцениваем убывание зависимости между
далекими невзаимодействующими областями в R2.
18.5 Уравнение типа Кирквуда - Зальцбурга
Уравнения (18.2.16-17) можно переписать как векторное уравнение в
банаховом пространстве
p = Z(A)l+Xp, (18.5.1)
имеющее единственное решение р = (/ - X)-1Z(A)1, удовлетво-ряющее
неравенствам
|p|^!(/-^)-1||^(A)|^4|Z(A)|. (18.5.2)
18.5 Уравнение типа Кирквуда - Зальцбурга 357
Мы увидим в дальнейшем, что эта оценка, по сути, есть не что иное, как
предложение 18.4.2.
Пусть с^ -банахово пространство функций /, определенных на конечных
подмножествах Г с (Z2) *. Для f е 8в обозначим через (fn)n^o ограничение
f на подмножества из п элементов. Норму в 95 определим, полагая
|/|= sup 2~п | fn (Г) |. (18.5.3)
{(п, Г): | Г I -га)
Пусть РЛ == (рл , гг) о S& обозначает функцию Г->Zp(A).
Теорема 18.5.1. Пусть |А,1^е, ReA,^0, где е мало, и пусть ш0 достаточно
велико. Тогда Z(Л)=й=0, а рл, определенное выше, является единственным
решением в уравнения (18.5.1). При этом рл удовлетворяет оценкам
(18.5.2).
По теореме о мажорированной сходимости, Z<5a(A)-> 1 при е->0. Значит, при
малых е
l/2^|ZeA(A)|<2.
Из этого условия вытекают ограничения на е, при которых верна теорема
18.5.1; фактически это единственное в этой главе ограничение на параметр
е.
Доказательство предложения 18.4.2 в предположении, что верна теорема
18.51:
Zx. (Л)
Zex (Л\*> \<
Z(A)
Z( Л)
\ZdA (Д) |-|ЛПХ|<
<2U<I[|(1 - Х)~' II | Zds (Д) |ч АПХ* ^ек,1х>.
Доказательство теоремы 18.5.1. Пусть 1 = (1, 0, 0, ...) е Определим
оператор Ж равенствами
(ЯГ/)"(Г)=/"_1(Г\*1)+ ? Е К(Ьь Г, ^)/и,иг|(Х*иГ), (18.5.4)
m = 1 {X: \ X \ = т)
где п ^ 2, а суммирование проводится по всем X (как в (18.2.16) и
(18.2.17)), являющимся связными объединениями квадратов решетки и
содержащим ребро Ь\. При п - 1 мы опускаем первый член в правой части, а
при п = 0 полагаем (Ж[)о = 0.
Покажем, что определенный выше оператор Ж является сжимающим: \Ж\ ^ 3/4.
Отсюда вытекает (18.5.2). Достаточно показать, что
ОО
(1/2) + sup 2'|Г| Y У 1^(6,, Г, AT) j21 гилг*1 ^ 3/4. (18.5.5)
г=й m"i {X: I X |=т)
Доказательство неравенства (18.5.5) аналогично доказательству теоремы
18.3.1, приведенному в § 18.4. В частности, в нем используются
предложения 18.4.1 и 18.4.3. Согласно первому из них, каждому
фиксированному значению |X| отвечает не более е^1 ^ I членов. Как следует
из (18.2.17), каждый член содержит по меньшей мере одно дифференцирование
дь'. Используя этот факт и соотношения (18.4.1), мы получаем, из
предложений 18.4.1 и 18.4.3 следующую
358 Гл. 18. Кластерные разложения оценку:
| К (bi, Г, .Y)Ke-/((m+1)ef:'m.
При достаточно больших К отсюда вытекает (18.5.5). В заключение покажем,
что Z(Л) Ф 0. По теореме о мажорированной сходимости (Д) -> 1 при
е-+-0. Если в достаточно мало, то J Z^, j = | Zd ^ (Л) |'Л ^ ф 0.
Следовательно, Рл ^ (r) и, в силу (18.5.2), 2(Л) ф 0.
18.6 Ковариационные операторы
Основные результаты о свойствах ядер С0(х,у) и Сг(х,у) были получены в
гл. 7. Здесь мы покажем, что производные ковариационного оператора д^'С
удовлетворяют более сильным оценкам, включая экспоненциальное убывание
(§ 18.4, (d2)). Пусть
dWly(со) - условная мера Винера на траекториях и (т) с началом в точке х
при т = 0 и концом в точке у при % - Т. Пусть (со) - характеристическая
функция множества траекторий, не пересекающих Г при Т\ см. § 7.8.
Тогда с помощью можно
выразить Сг в виде интеграла Винера (см. (7.8.3)) и аналогично
00 2 с Ж*, у)^\йте~т"т\ +
0
Следовательно,
(aYC(s))U, У) - \ dTe~m(r)T X
0
хШо-фП к+о-'.дап,- <18-6-"
Ь<=у Ь<=&\у
Нам необходимо было улучшить оценку производной &*С по двум Причинам. Во-
первых, для данного контура у нужно локализовать х и у. С этой
целью обозначим через j = (/ь /г) пару узлов решетки, являющихся
ближайшими соседями точек х и у соответ-
ственно. Тогда
d(j, у) = sup {dist (Л/,, 6) + dist (Д/2, Ь)} (18.6.2)
Ь^у
дает грубую нижнюю оценку для d.
Объясним теперь, каково еще одно применение оценки производных д^С. Пусть
д°(Г)-семейство всех разбиений я множества ребер, принадлежащих Г. В
предложении 18.4.3 требуется оценить
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed