Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(iii) Wn+2(fu •••> /. g, fn) = Wn+2(fu ..., g, f.................fn) для
всех n и всех f,- <= 9.
Рассмотрим T > 0 и z Ф О, ze^-1. Обозначим B = B(T,z) подмножество Rd,
для точек (if, х) которого t^T, x-z^z2. Геометрически В представляет
собой бесконечный "брус", сечением которого является положительный
квадрант в плоскости /, z и который неограниченно продолжен по двум
другим координатам, ортогональным к г. Положим
3)в = линейная оболочка {(ф(/)")~: f^P'iB)}.
Предложение 19.6.2. Множество 3)в является существенной областью для
оператора Н, состоящей из С00-векторов.'
Доказательство. Любой вектор из области ?Ьв принадлежит образу оператора
е~ГН и, кроме того, е~1Н 2)в cz 2)в- Поэтому достаточно показать, что
множество 2Ьв всюду плотно. Возьмем % _L 3)в и определим
F(t, х) = (X, e~tH+ix-p Ф(*)"> - <х,Ч>),
где g,s95+ П С(Г. Для достаточно больших t и x-z функция г|> лежит в 3)в
и F(t, х) =0. Очевидно, что F вещественно аналитична по t при t > 0, а из
следствия 19.5.4 вытекает, что F к тому же вещественно аналитична по х.
Поэтому F = 0 и, в частности, F(0, 0) = 0. В силу оценки (19.1.1), можно
просуммировать ряд для экспоненты (е(r)^) ,а это значит, что % _L (е4'^) .
Так как эти векторы порождают пространство Эё, то х = 0 и, следовательно,
SDb всюду плотно.
Предложение 19.6.3. Пусть функции /, g е Со° имеют пространственно-
подобные носители. Тогда для определенного выше мно-жества В верно
равенство [фм(/)> фм(&)]^г 3=3 0.
19.7 Единственность вакуума 379
Доказательство. Рассмотрим функции Швингера
$п+2 (0f ь • • ¦ > 0fr, *> УI fr+ ь ¦ • f п) - (6fi.Qfr, у, x, fr+l, ...,
fn),
(19.6.1)
где носители функций f;- лежат в множестве 6(7", z). Выберем z достаточно
большим и таким, что ни одна точка множества В U QB не лежит в полосе,
ограниченной двумя гиперплоскостями, перпендикулярными к разности х - у и
проходящими соответственно через точки х и у. Тогда применимо предложение
19.5.7 и, значит, функция Швингера (19.6.1) аналитична по х - у для
вещественных х - у и \х0 - i/o I < |х - у |. Рассмотрим (19.6.1) при
чисто мнимых значениях х0 - it, i/o = is. (Заметим, что можно выбрать
одно и то же множество В для всех х е supp /, у е supp g.) Умножим это
равенство на f(x)g(y) и проинтегрируем по х и у. После этого,
аналитически продолжив равенство (19.6.1), получим, что для любых
векторов 0ь 02 е 2DB справедливо соотношение
(01, [фмШ. фм(г)]02)ж = 0.
Заметим, что ограничение \t - s| <С |х - у| и есть условие того, что
носители функций / и g пространственно-подобны.
Доказательство теоремы 19.6.1. Согласно предложению 19.6.2 и теоремам
19.4.1,
19,4.3, 2D в является существенной областью операторов фм(/), фм(?) и
принадлежит области определения их произведения. Возьмем f, g е С"вещ и
применим предложение 19.6.3. По теореме 19.4.4 (в которой 2Ьв
рассматривается в качестве области определения) верно утверждение (i)
теоремы 19.6.1. Так как элементы 2D - это С°°-векторы для любых
произведений полевых операторов, то утверждения (И) и (iii), верные для
функций f, g е С", продолжаются по непрерывности на случай функций f, g е
9*. Еще раз применяя теорему 19.4.4, получим свойство (i). |
Заметим теперь, что к этому моменту мы доказали теоремы 6.1.5-6, за
исключением утверждений о единственности вакуума (аксиомы Вайтмана) и
неприводимости (аксиомы Хаага - К.аст-лера). Эти свойства анализируются
ниже.
19.7 Единственность вакуума
Напомним следующее условие относительно меры d\i(ф), введенное в § 6.1.
OS 4 (Эргодичность). Подгруппа T(t)cz3? временных сдвигов эргодически
действует на пространстве с мерой {2)' (Rd) вещ, d\i).
Теорема 19.7.1. Пусть функционал S{f} удовлетворяет аксиомам OS 0-3.
Тогда аксиома OS 4 справедлива в том и только в том случае, когда ?2
является единственным (с точностью до числового множителя) вектором в
пространстве Ж, инвариантным относительно временных сдвигов eitH.
Замечание. Эргодичность меры d\i эквивалентна тому, что 1 - единственный
инвариантный вектор унитарной группы T(t), действующей в гильбертовом
пространстве^= LiO", da). Это в свою
380 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
очередь эквивалентно кластерному свойству: для любых Л и fi из плотного
подмножества с?
t
lim Г1 \ [(AT(s)B) - (A)(B)]ds = 0. (19.7.1)
Здесь <•) обозначает ^ • d\i. В частности, экспоненциальное кластерное
свойство функций Швингера влечет за собой эргодичность меры dix.
Доказательство. Для самосопряженной сжимающей полугруппы е~ш, действующей
на гильбертовом пространстве Ж, предел
t
s. lim t~1 f e~ sH ds = Pinv t~> oo J
о
есть оператор проектирования на подпространство инвариантных векторов.
(Для
унитарной группы T(t) аналогично Рinv = s. lim t~1 ^ T (s) ds.) Поэтому
о
(19.7.1) эквивалентно тому, что 1 порождает инвариантное
подпространство группы T(t) в пространстве S. Пусть А и В в (19.7.1)
обозначают конечные линейные комбинации функций егср<^, где f е С" вещ.
Так как соотношение (19.7.1) содержит оператор временных сдвигов T(s), то
