Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 152

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 187 >> Следующая

19.2.2 показывает, что в пространстве SF'(Rn) при s;+1 - S; | 0 имеет
место сходимость Wn(h, г) ^>-Wrt(hzty Если t; = О, a s/+i - s; > 0, то
определение W"(h, г) согласуется с определением функций Швингера (из §
19.3). Заметим также, что аналитичность функций Швингера по переменным
S/+1-S; может быть выведена из следствия 10.5.6. §
Доказательство теоремы 19.5.1. Ковариантность квантового поля
относительно действия сдвигов в пространстве-времени и пространственных
вращений вытекает •из предложения 19.5.2, а также ковариантности
случайного поля ср (по определению). Для завершения доказательства изучим
действие лоренцевых преобразований на функции Вайтмана. В плоскости (t,
Х[) = (t, х) рассмотрим чистое лоренцево вращение Ла (гиперболический
поворот на угол а). Инфинитезималь-;ный оператор соответствующих
преобразований функций Вайтмана имеет вид
Покажем, что Wn(LnF) =0 для всех функций Fe9!(Rr"i). В частности,
Wn (AaF) = Wп (LnAaF) = 0,
т. е. каждая функция W" лоренц-инвариантна. Отсюда следует, что
существует также унитарная группа U (Аа), которая задает представление
группы Лоренца Ла в пространстве Ж. Закон умножения операторов U (Ла)
следует из соответствующего правила для преобразований Ла.
Свойство евклидовой инвариантности функций Швингера Sn в инфинитези-
мальной форме утверждает, что
п
0 = (19-5-7) /=1
Продолжим аналитически равенство (19.5.7) в область комплексных значений
Sj = е, - it;, где 8/+1 - 8/ > 0, т. е. в область аналитичности функций
S". Для комплексных s соотношение (19.5.7) можно переписать в виде п
о = g (е/ - it,) [JL- - х, g (j--] Sn (X, в- it). (19.5.8)
Перейдем теперь к пределу при 8/-н - е,- -*¦ 0 в основной функции F и
получим, что LnW" = 0. Это означает, что для любой основной функции
Wn(Ln, F) =0. |
Следствие 19.5.4. Спектр энергии-импульса лежит в переднем световом
конусе |Р|^ Я. Здесь Р - оператор импульса, т. е. генератор группы
пространственных сдвигов, действующей в <Ж
19.5 Лоренц-ковариантность 377
Теорема 19.5.5. Предположим, что аксиомы OS 0-3 выполнены и
6 > 0. Тогда на существует такая билинейная форма.
фм(х), что
е-6н(рм(х)е-м (19.5.9)
есть ограниченный оператор, аналитически зависящий от х в области 11 m х
J < б, такой, что
фм(Л= ^ 4>м (х) f (х) dx. (19.5.10)
Доказательство. Так как операторы Р и Н коммутируют, то из следствия
19.5.4: можно вывести, что ряд
схз
eim-tx.p-6H= у ШЮп (-/х-РГ Z-i п\ ml
п, т=0
сходится по норме в области \t\ + |х| < б. Из этого факта и оценки
(19.3.3) вытекает, что при |/| + |х| < б функция
e"J\(^)e_Sff = fW
вещественно аналитична по х, причем для е < б и произвольных
вещественных; х и t справедливо неравенство
| д"/7 (*) I < ТС (е) ен " 1 я! ^ ||/(<)||df. (19.5.11).
Далее, как и в оценке (19.1.7), F(Q)-это интеграл от ограниченной С°°-
функ-
ции: F(0) = ^ G(x)f(x)dx, где функция G (х) = e~6Hq>M (х) е~6н определяет
срм(х). Повторяя рассуждения, приводящие к неравенству (19.5.11),
получаем,, что
К*-вЯФл*г-бЯ||<*(е. 6) е-1 п 1 я!, (19.5.12)
где К (в, 6) =||е~(б~Е)Яфм(лс)е-,б~е)Я||.
Поскольку К (в, б) не зависит от х (для вещественных х), утверждение об
аналитичности следует из оценки (19.5.12). |
Следствие 19.5.6. Функции Швингера S"(*i, ..., хп) вещественно-аналитичны
по Х\, ..., хп при несовпадающих значениях аргументов (т. е. при Xi ф Xj
для всех i Ф /).
Доказательство. Так как функции S" инвариантны при перестановке
переменных Х\, .... хп, можно считать, что t\ < t2 < .. . < t". Если
некоторые моменты времени совпадают, а соответствующие точки различны, то
с помощью малого евклидова вращения можно достичь того, что и все моменты
времени станут различными. Тогда утверждение вытекает из аналитичности
оператора (19.5.9).
Предложение 19.5.7. Пусть заданы такие точки х и у, что х- у Ф ф 0.
Обозначим В подмножество пространства Rd, состоящее из-таких точек (z0,
z), что при проектировании г на прямую х - у проекция лежит вне интервала
(х, у). Пусть fi, ..., fn е 9 - функции с носителями в множестве В. Тогда
функция Sn+2(fl, • • •, U> х, у) аналитична по переменной х - у для
вещественных значений! х - у при условии, что | лг0 - Уо | < | х - у |.
378 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Доказательство. Выполним евклидово вращение, так чтобы х - у стала новой
осью времени. По построению множество В не содержит точек во временном
интервале между х и у. Далее рассуждаем так же, как в доказательстве
теоремы 19.5.5. |
Заметим, что, как следует из доказанного предложения, правая и левая
полуплоскости Re g > О и Re?<0 комплексной плоскости % = х0 - у0, на
которых функции Швингера аналитичны, соединяются по разрезу |1т?|<;|лс -
у] на мнимой оси.
19.6 Локальность
Теорема 19.6.1. Предположим, что выполнены аксиомы OS 0-3, а функции f,g&
^вещ имеют пространственно-подобные носители. Тогда имеет место свойство
локальности, которое может быть выражено следующими тремя способами:
(i) eiQM 8)] = 0;
(ii) [фм(!)> Фм(&)]^ = 0;
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed