Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 155

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 187 >> Следующая

что Л инвариантно при любых сдвигах в Rd. К тому же, согласно предложению
19.7.4, Л инвариантно при отражениях относительно любой
гиперплоскости. Поскольку сдвиги и отражения порождают всю евклидову
группу, А е &Е. I
Алгебра ограниченных функций & е Pi Loo непосредственно определяет
интегральное разложение меры dji. Пусть 3Z обозначает спектр алгебры
&?E[}Loo. Тогда на %, существует нормированная положительная мера dt, и
для почти всех существуют такие
меры d\i^ на пространстве 9"{Rd), что
d\i = ^ djj,?,
причем S{f}= ^ Sz{f}dZ, где St {/} = ^ e^^d^.
Теорема 19.7.7. Пусть мера d\\, удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда для
п. в. ? мера d\L? удовлетворяет аксиомам OS 0-4.
Доказательство. Отождествим функции из & + П L°° с множеством функций от
принадлежащих пространству LX(Z, dt,). По определению
^ AZ d\i^ = (S AZdv^d),
19.7 Единственность вакуума 383
где Loo, а интеграл ^ AZ d\i рассматривается как функция от ?. Тогда
инвариантность меры rfjig следует из инвариантности djx и Z. Аналогично,
положительность при отражениях вытекает из положительности dt, и
положительности при отражениях скалярного произведения:
ё+зА, В =s- ^ MBZ d\i = ^ 0 (Zll2A)~ (Zl>2B) ф.
Здесь flioo, Z ^ 0. При этом мы воспользовались тем фактом, что, со-
гласно предложениям 19.7.3-4, функции Z1'2 и 0Z'^2 принадлежат Л Lao.
Эргодичность меры djif. для п. в. ? вытекает из общей теории интегральных
разложений. Подробности читатель может найти в книге [Dixmier, 1957].
Теперь, используя метод многократных отражений, мы покажем, что аксиома
регулярности OS1 справедлива для п. в. чистых фаз ?• Для этого достаточно
для любой проекции ZsI'e установить оценку
| J Ze* <f' lOrfjx^Qzdn) ехр (Ц/ll^ + ||/|g ). (19.7.3)
При этом можно взять функции f с носителем в некоторой временной полосе,
скажем 0 ^ t г^. Т. Согласно неравенству Шварца в пространстве <5$,
получаем, что
^ Zel (f' ф> dp, | == I <Z1/2, (Z1/2e''<f•(p>)") I <
< Q Z d^' ( ^ Zel <f' ф> (ег <ef' ^)" d^ 1 .
Теперь можно считать, что функции / и 0/ представляют собой одну я ту же
основную функцию, и поэтому после сдвига по времени во втором сомножителе
процедуру можно повторить. После п шагов мы получим основную функцию
2 п
вида g= ^ fj, где носители лежат в непересекающихся временных интер-/= 1
валах. Для таких
¦"1Е" -1Е f/1?" - Г И Ml?" -2" <' <?"•
Чтобы закончить доказательство, осталось воспользоваться аксиомой OS1 и
устремить п к бесконечности. 9
Глава 20
Дальнейшие направления
Чтобы дополнить изложение основного материала и дать читателю
библиографическое руководство, мы предлагаем здесь крат* кий обзор
важнейших достижений конструктивной теории поля, не вошедших в предыдущие
главы.
384 Гл. 20. Дальнейшие направления
20.1 Модель фз
В программу конструктивной теории поля входит изучение ф4-мо-дели в
размерности d = 3. Здесь уже требуется бесконечная перенормировка массы.
Сформулируем основную теорему существования. Пусть dq> обозначает
гауссову меру на пространстве 2D' (R3) с ковариацией (-А+1)-1 и нулевым
средним, а фи- обрезанное поле, полученное либо переходом к решетке с
шагом х-1, либо сверткой фкЕ=ф*би с размазанной 6-функцией 6И, как в §
8.1. Положим
V (А, х) = ^ [Аф4 + а (х, А)ф2]d3x, л
5л, и (/) = \ е<р (f> ^л, и, где d\iA -x - Z(A, х)_1ехр[- V(Л, х)]^ф,
Z(Л, х) = ^ехр[- V(А, х)]^ф.
Теорема 20.1.1. Существуют такие постоянные а, (3^0, что если а (х) = -а
Ах + (ЗА2 In х + а, то для всех А > 0 и а е R существует предельный
функционал
S {/} = lim lim 5Л, *(/),
Л t R3 и -* оо
удовлетворяющий аксиомам OS 0-3.
Теорема 20.1.2. Существуют два конечных значения ст±(А), такие, что
функционал S{f} удовлетворяет аксиоме OS 4 при а>ст+(А) (и, значит, у
гамильтониана Н имеется единственный вакуумный вектор) и не удовлетворяет
ей при сг<сг_(А) (существуют по крайней мере два вакуумных вектора).
Основной шаг в доказательстве существования, а именно построение меры
dji(A, х = оо), был сделан в работе [Glimm, Jaffe, 1972Ь]. Существование
предела при Л f R3 в случае а > а+ показано с помощью техники кластерных
разложений в статьях [Feldman, Osterwalder, 1976] и [Magnen, Seneor,
1976а]. Сходимость решеточных аппроксимаций, когда шаг решетки стремится
к нулю, а А фиксировано, доказана в работе [Park, 1977]; тем самым
установлены корреляционные неравенства. Предел при переходе к
бесконечному объему для всех значений а построен в статье [Seiler, Simon,
1976]. Доказательство существования нескольких вакуумов (т. е. фазовых
переходов) получено распространением на непрерывный случай методов,
описанных в § 16.4 [Frohlich, Simon, Spencer, 1976]. Спектр частиц в
модели при а 1 изучался в работе [Burnap, 1977], где доказано
существование изолированного одночастичного состояния. Несколько иное
построение модели ф| в ко-
20.2 Суммируемость по Борелю 385
нечном объеме дано в работе [Benfatto et al., 1980]. Оно основано на
идеях, связанных с ренормгруппой (см. [Wilson, Kogut, 1974], [Ма, 1976]).
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed