Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
без ограничения общности можно считать, что As S'-, В е S +. При этом
(19.7.1) эквивалентно кластерному свойству
t
lim
о
1 J [<ел, е ШВ)Ж - (ел, 0)ж<0. в)х\ ds = о, (19.7.2)
а значит, единственности основного состояния Q оператора Н.
Отметим, что теперь доказательство теоремы 6.1.5 полностью завершено.
Более того, предположив справедливость аксиомы OS 4, мы сейчас докажем,
что глобальная алгебра фон Неймана, порожденная алгеброй U91 (В),
неприводима, и тем самым закончим в
доказательство теоремы 6.1.6. Предположим, что А коммутирует со всеми
переменными. Так как алгебра 2t(fi) замкнута относительно сопряжений, то
Л* тоже коммутирует со всеми переменными. Следовательно, и операторы Re А
= (Л* + А) /2 и 1тЛ =
- (А* - А)/21 обладают этими свойствами. Без ограничения общности
можно считать, что оператор Л самосопряжен. Поэтому для С - С* е 91(B)
получаем, что С (t) = U (t)CU (t)* е 2t(fi*) и
{AQ, U (/)CQ) = (Q, AC (0 Q> = (С (t) Й, AQ) =
= (fJ(t)CQ, ЛО) = (Л?2, U (t) CQ)~.
19.7 Единственность вакуума 381
Из этого равенства видно, что функция <Л?2, U(t)CQ) вещественна и,
значит, ее преобразование Фурье по переменной t будет четной функцией по
двойственной переменной со. Однако ввиду положительности энергии
преобразование Фурье сосредоточено на полуоси о = энергия ^ 0. Таким
образом, AQ ортогонально состояниям вида CQ со строго положительной
энергией. Последние плотны в пространстве Ж, как следует из теоремы
19.3.3 и того обстоятельства, что векторы пространства 2D могут быть
получены с помощью дифференцирования экспоненты ехр(фм(/1)) . . .
... ехр (фм (/")) ?3 в С?2. Следовательно, /Ш - это состояние с нулевой
энергией. Однако, в силу аксиомы OS 4, Q - единственное с точностью до
множителя состояние с нулевой энергией. Это означает, что АО, = А?2, и,
далее, для любых %, г|эе91(5)Я верно равенство <%, Л\р> = <%, г|э)Я.
Отсюда, наконец, можно сделать вывод, что А = Я/.
Стандартные методы построения квантовых полей естественным образом
приводят к мере dpi, которая удовлетворяет аксиомам OS 0-3, но не
обязательно аксиоме OS 4. Чтобы включить в рассмотрение и этот общий
случай и развить аппарат, необходимый для изучения смешанных состояний,
остановимся подробнее на эргодических свойствах меры
Определение 19.7.2. Пусть 8\ обозначает подпространство 8, инвариантное
относительно группы временных сдвигов T(t), t^R1. Аналогично, пусть 8е<^8
обозначает подпространство, инвариантное относительно полной евклидовой
группы, а 8'">- подпространство функций, измеримых относительно а-алгебры
"на бесконечности". Последнее означает, что 8(tm) = [\{8 (В')\ В
ограничено}. Как и в § 6.1, обозначим 8± подпространства 8, отвечающие
будущему и прошлому.
Предложение 19.7.3. Пусть мера d\x. удовлетворяет аксиоме OS 2. Тогда 8\
а 8ос П 8+ П 8-
Доказательство. Пусть AeS\\ тогда А = Ип\Ап, где Ап - функция от значений
поля ф(х) при |х| < п и \\А"\\ ||А[|. Такую последовательность Ап
можно
построить при помощи ортогонального проектирования на пространство S" - =
& (\х\ ^ я), т. е. при помощи условных средних. При этом сходимость Ап-*-
А будет следовать из того, что Еп f /, п-*- оо, где Еп - проекция на
подпространство й'ясй', состоящее из всех Z-2-функций от значений поля
ф(х) при 1*1 ^ я. Сильная сходимость последовательности T(t)An при я-*-
°о вытекает тогда из следующего соотношения, верного для любого t е R1:
\\T(t)An-A\\ = ||ЛП-Г(-/)Л|| = ||Л"-Л||->0.
Положив соответственно t = 2я, я, -я, мы получим, что Л е &<*,, &+ и <8-
Предложение 19.7.4. Если мера dpi удовлетворяет аксиомам OS 2-3, то
элементы подпространства 8\ инвариантны при отражениях 0 относительно
гиперплоскости t - 0.
382 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Доказательство. Будем считать, что А ^ 0. Пусть {¦)% и (• )х обозначают
соответственно скалярные произведения в пространствах <§ и Ж. Согласно
предложению 19.7.3, А, 0А е & + П 8-¦ Поэтому с помощью неравенства
Шварца, примененного к пространству &, получим, что
<0Л, Л>,<<0Л, A)f(A, A)f = (A, 0Л)^2(0Л, A)f.
Это неравенство можно продолжить с помощью неравенства Шварца в
пространстве Ж. Найдем, что
I (Л, ВА)Ж | < (Л, A)f (6Л, вА)%2 = | (0Л, А), | = (0Л, л>,.
Отсюда следует, что все эти неравенства на самом деле равенства, а первое
из них дает 0А = А. В
Теорема 19.7.5. Если мера d\j, удовлетворяет аксиомам OS 2 и OS 3, то <§\
= <§е.
Следствие 19.7.6. Мера d\x эргодична относительно действия полной
евклидовой группы в том и только в том случае, если она ^-эргодична.
Доказательство теоремы 19.7.5. Обозначим Т(е'9) поворот на угол 0 в
плоскости t, х\, где х - (х, t), х = Хи Тогда
Т (xi) = lim Т (- t)T{e~ix^)T (t).
t~+OQ
Взяв Л е <5ь определимЛ^ = Л - Т (е~1Х1^) Л. Тогда ЦЛ?|| -*-0, потому что
семейство Т(е1(r)) сильно непрерывно по 0. Далее, Т(-t)At-+ 0 и,
следовательно,
Т {х\) А = lim T{-t)T(e-iXllt)A= lim Т (-t) А - Т (-t) At = А.
t-+ ОО t-+ ОО
Итак, А инвариантно при сдвигах вдоль оси х\. Аналогично можно показать,
