Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
| ) = D (a2) D (сц) | 0) (7.13)
Поскольку эти операторы сдвига имеют экспоненциальную форму (3.17), то закон их умножения дается выражением (3.20):
D (a2) D (сц) = D (aj + а2) gViCw**-а?«ч>. (7.14)
Экспоненциальное выражение, выделенное в (7.14), имеет чисто мнимый аргумент и, следовательно, соответствует фазовому множителю. Другими словами, суперпозиционное состояние (7.13) является как раз когерентным состоянием | + а2), умноженным на
фазовый множитель. Однако фазовый множитель не влияет на
оператор плотности для суперпозиционного состояния, кото-
рый равен
6 = I ai 4~ аг) (°i 4~ аг |- (7-15)
При изменении способа включения описываемых источников в мысленном эксперименте (например, при включении их в другие моменты времени или в обратном порядке) конечное состояние отличается только фазовым множителем и, следовательно, приводит к тому же самому оператору плотности. Амплитуды последовательных когерентных возбуждений осциллятора поля складываются в квантовой теории подобно комплексным числам, так же как и в классической теории.
Предположим теперь, что в таком же эксперименте используются несколько менее идеальные источники и что они переводят осциллятор не в чистые состояния, а в состояния, описываемые суперпозицией когерентных состояний типа (7.6). Будем считать, что при действии одного только первого источника поле переходит в состояние, описываемое оператором плотности
61= ^ (ai) I ai) (cti 1 of2^.
(7.16)
Состояние поля при действии только второго источника представляется следующим оператором:
q = ^ Я2 (а2) | а2) (а21 d2a2 = ^ Р2 (а2) D (а2) | 0) <0 j D'1 (а2) сРа2.
Если второй источник включается после первого, то он переводит поле в состояние, описываемое оператором плотности
6=^2 Ы D (а2) QiD'1 (a2) d2a2 =
= J ^2(a2)^i(ai)|ai + a2) (at + a21 d2at d2a2. (7.17)
Этот оператор можно записать в общем виде
q = ^ Р (а) | а) (а | d2а,
если считать, что при последовательном возбуждении весовая функция Р (а) равна
.P(a)=^ d2(a — a1 — a2,)Pl(ai)P2(a2)d2ald2a2, (7.18)
P(a)=J/>1(a-a')/>2(o')dV. (7.19)
Непосредственно из (7.18) видно, что Р имеет правильную нормировку, если соответствующим образом нормированы Pi и Р2. Простой закон свертки весовых функций является одним из важных свойств описания полей с помощью ^-представления. Он полностью аналогичен закону, который мы использовали бы в классической теории для описания распределения вероятности суммы двух неопределенных фурье-амплитуд осциллятора поля.
Теорему о свертке функций часто можно использовать для разложения полей на составные части с более простыми свойствами. Предположим, что наше поле описывается весовой функцией Р (а), для которой среднее значение а определяется следующим образом:
a = ^ аР (a) d2a. (7.20)
Тогда из (7.19) следует, что любое поле такого типа можно рассматривать как сумму чистого когерентного поля, которое соответствует весовой функции б<2) (а — а), и поля, представляемого функцией Р (а + а), для которой среднее значение а равно нулю. Поля с нулевым средним значением а будем называть нефазиро-ванными полями.
Использование ^-представления оператора плотности в той области, где он не является слишком сингулярным, приводит
к упрощению вычислений статистических средних, которые несколько отличаются от рассмотренных в предыдущем разделе. Так, например, статистическое среднее любого нормально упорядоченного произведения операторов рождения и уничтожения фотонов типа (tf)nam сводится к простому среднему от (а*)пат, взятому относительно весовой функции Р (а), т. е. равно
Sp {g (af)n а™} = ^ Р (а) (а) (а*)п ат [ а) d2а = ^ Р (а) (а*)71 ат d2а.
(7.21)
Практически это тождество означает, что многие квантовомеханические расчеты можно производить способами, которые аналогичны уже известным из классической теории.
Среднее число фотонов в моде является наиболее простой мерой интенсивности ее возбуждения. Оператор, представляющий число имеющихся фотонов, как видно из уравнения (2.18), равен а а. Поэтому среднее число фотонов (п) дается выражением
(я) = Sp {(№¦?}. (7.22)
Тогда на основании (7.21) получаем
(п) — ^ Р (а) | а |2 d2a, (7.23)
т. е. среднее число фотонов равно среднему от квадрата абсолютного значения амплитуды а. При суперпозиции двух полей, описываемых распределениями Л и Р2, результирующие интенсивности получаются с помощью правил, которыми всегда пользовались в классической электромагнитной теории. Для нефазированных полей интенсивности складываются «некогерентно»; для когерентных состояний амплитуды складываются «когерентно».
